TOC 中的 Ladner 定理

TOC 中的拉德纳定理：
您大概知道，无论 P = NP 是否是计算机科学领域的一个重大困惑问题。在计算复杂度中，那些属于 NP-问题但不能属于 P 或 NP-完全问题的问题称为NP-中间问题。

考虑到 NP-complete 问题，我们通常会继续思考我们是否在 P 和 NP-complete 之间进行划分，具体来说 P 或 NP 是否仅包含 NP-complete 问题，如果 P ≠ NP .

即使你想到 P ≠ NP ，相信 NP = P ∪ NP-完全是很诱人的——NP 中的每个问题都可以在多项式时间内解决，或者具有足够的表达能力来编码 SAT。所有这些问题都被 Ladner 解决了，他的定理证明了中间复杂性的存在。

NP-中间问题：
当且仅当 L∉ P 和 L∉ NP-完全时，语言 L ∈ NP 是NP-中间语言。

拉德纳定理：
如果 P ≠ NP，则存在一种语言 L，它是 NP 中间语言。
换句话说，如果 P ≠ NP 为真，则 NP Intermediate 不为空，这意味着 NP 包含既不是 P 也不是 NP 完全的问题。

证明：
通过使用对角化，

让我们假设一个特殊函数H : N –> N 使得：

从 m 处理 H(m) 所需的 O(m ³ ) 时间。
如果 SAT _H ∉ P，H(m) –> ∞ 与 m。
如果 SAT _H ∈ P ，则 H(m) ≤ C (C= 常数)。
现在，让 SAT _H = {Ψ ₀ 1 ^{m^ H(m)} : Ψ ∈ SAT 和 |Ψ| = 米}

考虑到 P ≠ NP，H 的特征是 SAT _H是 NP-intermediate 。

1. 设 SAT _H ∈ P，则 H(m) ≤ C。
这表明 SAT 的多时间算法如下：

首先输入 φ ，得到 m = |φ| 的值。
现在从计算的 H(m) 生成一个字符串φ 0 1 ^{m^ H(} m)。
验证字符串φ 0 1 ^{m^ H(m)} ∈ SAT _H。

结果- 因此它应该是 SAT _H ∉ P ，因为 P ≠ NP。

2.令 SAT _H ∈ NP-完全。这意味着 H(m)–>∞ 与 m。
这表明 SAT 的多时间算法如下：

SAT ≤ _p SAT _H和φ–> Ψ 0 1 ^k
第一个输入 φ，m = |Ψ| , 并得到 f(φ) = Ψ 0 1 ^k的值。
通过处理 H(m) 验证是否 k = m ^H( m)。
这表明 , n ^c = |f(φ)| ≥ k ≥ m ^2c 。

因此，如果 Ψ ∈ SAT，则 √n ≥ m 也 ϕ ∈ SAT。
只需要 O(log log n) 递归步骤。

结果 –因此 SAT _H ∉ NP-完全，因为 P ≠ NP。

H 的构造：
现在对于 H 构造，我们注意到 H(m) 的值支配
字符串SAT _H的成员资格，这里字符串SAT _H的长度 ≥ m。

因此，我们将根据 SAT _H中的字符串定义长度为 < m 的 H(m)。
现在对于构造，我们知道 H(m) 是最小的 k < log (log m) 使得 M _k选择所有长度的参与，直到 log m 个字符串x 在 SAT _H内 k。 |x| ^k次_。如果不是，那么我们可以说 H(m) = log (log m)。
现在 H(m) ≤ C 当且仅当 SAT _H ∈ P 为真。

有一个多时间 M 选择每个 x ∈ SAT _H在 c 内的注册。 |x| ^c时间。这里 M 可以通过很多字符串来解决，有 α ≥ c 使得 M = M*α 选择每个 x ∈ SAT _H在 α 内的参与。|x| ^α时间。
因此，对于所有满足 α < log (log m) 的 m，H(m) ≤ α。

如果 SAT _H ∈ P 则 H(m) ≤ C（对于无限多的 m）。
当 k ≤ C 时，H(m) = k 对于无穷多个 m，此条件为真。

采取任何 x ∈ {0,1}* 现在找到最大的 M 使得 |x| ≤ log m 和 H(m) = k。这里 x 由 k 中的 M _k决定。 |x| ^k时间。
SAT _H由 M k 确定，M _k是多时间机器。

H 的性质：
H的性质如下：

从 m 处理 H(m) 所需的时间为 O(m3)。
如果 SAT _H ∉ P，H(m) –> ∞ 与 m。
如果 SAT _H ∈ P ，则 H(m) ≤ C (C= 常数)。

对角化的限制：
对角化是一种用于分离集合的技术。在这里，我们要为 NP 中间集分离两个集合 NP 和 P。 Kozen 定理表明强对角化不会相对化。

虽然 P 与 NP 的问题仍未解决，但我们已经改进了对该主题的关注。尽管有确凿的证据反对对角化分离 P 和 NP 的能力，但我们已经证明这与我们对立体对角化的想法无关。此外，固体对角化是隔离这些 P 和 NP 的最佳方法，正如 Kozen 在他的定理中说明的那样。

NP中间问题的例子：

计算离散对数。
图同构问题。
分解离散对数。
格中最短向量的逼近。
最小电路尺寸问题。