📜  数学 |生成函数 – 设置 2

📅  最后修改于: 2021-09-27 14:28:01             🧑  作者: Mango

先决条件 – 生成函数-介绍和先决条件
在第 1 组中,我们了解了有关生成函数的基础知识。现在我们将讨论有关生成函数及其应用的更多细节。

指数生成函数 –
h_0, h_1, h_2, ........., h_n, ...... ea 序列。那么它的指数生成函数,记为g^e(x) 是(谁)给的,

g^e(x) =\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} h_n

示例 1:- 让 {1, 1, 1…….} 是一个序列。序列的生成函数为
g^e(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} ( 这里h_n =1 对于所有 n )
示例 2:- 让perm{n}{k} 是 n 元素集中的 k 排列数。那么序列的指数生成函数^nP_0, ^nP_1, ......., ^nP_n

g^e(x) =\sum_{k=0}^{n} \frac{x^n}{n!} ^nP_k = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} \frac{n!}{(n-k)!} = \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} x_k = \sum_{k=0}^{n} \^nC_k x_k =(1+x)^n

指数生成函数用于确定包含重复元素的集合的 n 排列数。稍后我们将看到示例。

使用生成函数解决递归关系 –
线性齐次递推关系可以用生成函数求解。这里我们举个例子来说明。

示例:- 求解线性齐次递推方程h_n=5h_{n-1}+6h_{n-2} .
给定的h_0 =1 和h_1=-2 .

我们使用生成函数来解决这个问题。令 g(x) 为序列的生成函数h_0, h_1, h_2, ......, h_n, .... .
因此 g(x)= h_0+h_1 x + h_2 x^2 +........+ h_n x^n+....
所以我们得到以下等式。
g(x)= h_0+h_1 x + h_2 x^2 +........+ h_n x^n+....

-5xg(x)= -h_0x+h_1 x^2 + h_2 x^3 +........+ h_n x^n+1+....

6x^2g(x) = h_0 x^2+h_1 x^3 + h_2 x^4 +........+ h_n x^n+2+....

将这 3 个数量相加我们得到
(1+5-6x^2)g(x)=h_0 + (h_1-5h_0)x +(h_2-5h_1+6h_0)+....... +(h_n-5h_{n-1}+6h_{n-2})x^n+.....

现在h_n-5h_{n-1}+6h_{n-2} =0 对于所有 n>1。所以,

(1+5x-6x^2)g(x)=h_0 + (h_1-5h_0)x = (1-7x)

或 g(x)= \frac{(1-7x)}{(1+5-6x^2)}

现在(1+5x-6x^2) =(1-2x)(1-3x)

所以,g(x)= \frac{(1-7x)}{(1-2x)(1-3x)}

很容易看出\frac{(1-7x)}{(1-2x)(1-3x)}=\frac{5}{(1-2x)}-\frac{4}{(1-3x)}

现在\frac{1}{(1-2x)}=1 + 2x+2^2 x^2 +2^3 x^3+.... +2^n x^n+......
\frac{1}{(1-3x)}=1 + 3x+3^2 x^2 +3^3 x^3+.... +3^n x^n+......

所以 g(x)= 5(1 + 2x+2^2 x^2 +2^3 x^3+.... +2^n x^n+......)-4(1 + 3x+3^2 x^2 +3^3 x^3+.... +3^n x^n+......)

因为这是序列的生成函数h_0, h_1, ......h_n 我们观察到h_n=5*2^n-4*3^n

因此,我们可以使用生成函数求解递推方程。

通过生成函数证明身份 –
也可以用生成函数证明各种恒等式。这里我们举例说明其中的一个。

例子:证明: ^nC_r=^{(n-1)}C_r+^{(n-1)}C_{r-1}
这里我们使用序列的生成函数^nC_0, ^nC_1, ......^nC_r.... IE (1+x)^n .
现在, (1+x)^n=(1+x)^{n-1}(1+x)=(1+x)^{n-1}+x(1+x)^{n-1}
对于 LHS,术语包含x^n ^nC_r .对于 RHS,该术语包含x^n ^{(n-1)}C_r+^{(n-1)}C_{r-1} .所以^nC_r=^{(n-1)}C_r+^{(n-1)}C_{r-1} (证实)

下面给出了有关生成函数的各种示例的链接。

  1. GATE CS 2018 |问题 18
  2. GATE-CS-2017(套装2)|第 52 题