先决条件 – 生成函数-介绍和先决条件
在第 1 组中,我们了解了有关生成函数的基础知识。现在我们将讨论有关生成函数及其应用的更多细节。
指数生成函数 –
让 ea 序列。那么它的指数生成函数,记为是(谁)给的,
示例 1:- 让 {1, 1, 1…….} 是一个序列。序列的生成函数为
( 这里 =1 对于所有 n )
示例 2:- 让是 n 元素集中的 k 排列数。那么序列的指数生成函数是
指数生成函数用于确定包含重复元素的集合的 n 排列数。稍后我们将看到示例。
使用生成函数解决递归关系 –
线性齐次递推关系可以用生成函数求解。这里我们举个例子来说明。
示例:- 求解线性齐次递推方程 .
给定的 =1 和 .
我们使用生成函数来解决这个问题。令 g(x) 为序列的生成函数 .
因此 g(x)=
所以我们得到以下等式。
g(x)=
-5xg(x)=
=
将这 3 个数量相加我们得到
现在 =0 对于所有 n>1。所以,
或 g(x)=
现在 =(1-2x)(1-3x)
所以,g(x)=
很容易看出
现在
和
所以 g(x)=
因为这是序列的生成函数我们观察到
因此,我们可以使用生成函数求解递推方程。
通过生成函数证明身份 –
也可以用生成函数证明各种恒等式。这里我们举例说明其中的一个。
例子:证明:
这里我们使用序列的生成函数 IE .
现在,
对于 LHS,术语包含是 .对于 RHS,该术语包含是 .所以 (证实)
下面给出了有关生成函数的各种示例的链接。
- GATE CS 2018 |问题 18
- GATE-CS-2017(套装2)|第 52 题