数学 | 生成函数 - 设置 2

本文将深入讨论生成函数的更多设置和用法。生成函数是一种极为有用的数学工具，能够用于解决许多问题，例如计算组合数和求和等。

1. 设置生成函数

生成函数有很多不同的设置，以下是一些常见的设置：

(1) 普通生成函数

普通生成函数是将序列 $(a_0, a_1, a_2, ...)$ 映射为幂级数 $A(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，例如 $1, 1, 2, 3, 5, ...$ 的普通生成函数是 $1 + x + 2x^2 + 3x^3 + 5x^4 + ...$。

(2) 指数型生成函数

指数型生成函数是将序列 $(a_0, a_1, a_2, ...)$ 映射为幂级数 $A(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n!}x^n$，例如 $1, 1, 1, ...$ 的指数型生成函数是 $e^x$。

(3) 次数受限生成函数

次数受限生成函数是将序列 $(a_0, a_1, a_2, ..., a_k)$ 映射为幂级数 $A(x) = \sum\limits_{n=0}^{k} a_n x^n$，例如 $1, 2, 1$ 的次数受限生成函数是 $1+2x+x^2$。

2. 生成函数的常见操作

使用生成函数，可以进行一些常见的操作，例如：

(1) 对两个序列进行乘法运算

给定两个序列 $(a_0, a_1, a_2, ...)$ 和 $(b_0, b_1, b_2, ...)$，它们的乘积序列为 $(c_0, c_1, c_2, ...)$，其中 $c_n = \sum\limits_{i+j=n} a_i b_j$。这给出了它们普通生成函数的乘积，即 $A(x)B(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n x^n$。

(2) 对序列进行排列组合运算

给定序列 $(a_0, a_1, a_2, ...)$，它的排列组合数序列为 $(b_0, b_1, b_2, ...)$，其中 $b_n = \frac{1}{n!}\sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^i {n \choose i} a_i$。这给出了它的指数型生成函数，即 $B(x) = e^{A(x)}$。

(3) 求序列的前缀和

给定序列 $(a_0, a_1, a_2, ...)$，它的前缀和序列为 $(b_0, b_1, b_2, ...)$，其中 $b_n = \sum\limits_{i=0}^{n} a_i$。这给出了它的次数受限生成函数，即 $B(x) = \frac{1}{1-x} A(x)$。

3. 代码示例

以下是一个使用 Python 代码计算斐波那契数列的示例：

def fibonacci(n):
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    else:
        # 使用普通生成函数计算斐波那契数列
        f0, f1 = 0, 1
        for i in range(2, n+1):
            f0, f1 = f1, f0+f1
        return f1

print(fibonacci(10))  # 输出 55

4. 总结

生成函数是一种非常有用的数学工具，可以用于解决许多问题。本文介绍了常见的生成函数设置和操作，并给出了一个 Python 代码示例。希望这篇文章能够帮助大家更好地了解和应用生成函数。