产生函数

生成函数是一种解决递归关系的方法。

让我们考虑一下实数序列a ₀ ，a ₁ ，a ₂ …. a _r 。对于给定的在t处包含零值的实数间隔，函数G(t)由级数定义
G(t)= a ₀ ，a ₁ t + a ₂ t ² +⋯+ a _r t _r + …………公式(i)

此函数G(t)称为序列a _r的生成函数。

现在，对于恒定序列1，1，1，1 …..生成函数为

可以表示为

G(t)=(1-t) ^-1 = 1 + t + t ² + t ³ + t ⁴ +⋯[通过二项式展开]

与等式(i)进行比较，我们得到

a ₀ = 1，a ₁ = 1，a ₂ = 1等等。

对于常数序列1,2,3,4,5，..生成函数是
G(t)= 因为它可以表示为
G(t)=(1-t) ^-2 = 1 + 2t + 3t ² + 4t ³ +⋯+(r + 1)t ^r

与等式(i)进行比较，我们得到
a ₀ = 1，a ₁ = 2，a ₂ = 3，a ₃ = 4依此类推。

Z ^r的生成函数(Z≠0，Z为常数)由下式给出
G(t)= 1 + Zt + Z ² t ² + Z ³ t ³ +⋯+ Z ^r t ^r
G(t)= [假设| Zt | <1]
因此，G(t)= 产生Z ^r ，Z≠0

另外，如果_^(1)r的生成函数G _1(t)和_^(2)R具有生成函数G _2(t)的，则_{^{λ1(1)R +λ2(2)R}}具有生成函数_λ1 G _1(t)的_+λ2 G _2(t)的。这里_λ1和_λ2是常数。

应用领域：

生成函数可用于以下目的-

• 用于解决递归关系
• 为了证明一些组合身份
• 用于寻找序列项的渐近公式

示例：求解递归关系a _{r + 2} -3a _{r + 1} + 2a _r = 0

通过生成具有初始条件a ₀ = 2和a ₁ = 3的函数的方法。

解决方案：让我们假设

将等式(i)乘以t ^r并从r = 0到∞，我们得到

(a ₂ + a ₃ t + a ₄ t ² +⋯)-3(a ₁ + a ₂ t + a ₃ t ² +⋯)+2(a ₀ + a ₁ t + a ₂ t ² +⋯)= 0
[∴G(t)= a ₀ + a ₁ t + a ₂ t ² +⋯]

+ 2G(t)= 0 …………公式(ii)

现在，_{在等式(ii)中放入0} = 2和₁ = 3并求解，我们得到

将t = 1放在等式(iii)的两边以找到A。
-1="-A∴A" 1<="" =="" p="">

放t = ="" >在等式(iii)的两边找到b。因此

因此G(t)= 因此， _r = 1 + 2 ^r 。