数学 |生成函数 – 设置 2

先决条件 – 生成函数-介绍和先决条件
在第 1 组中，我们了解了有关生成函数的基础知识。现在我们将讨论有关生成函数及其应用的更多细节。

指数生成函数 –
让$h_0, h_1, h_2, ........., h_n, ......$ ea 序列。那么它的指数生成函数，记为$g^e(x)$是(谁)给的，

$g^e(x) =\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} h_n$

示例 1：- 让 {1, 1, 1…….} 是一个序列。序列的生成函数为
$g^e(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}$ ( 这里$h_n$ =1 对于所有 n )
示例 2:- 让$perm{n}{k}$是一个 n 元素集中的 k 个排列数。那么序列的指数生成函数$^nP_0, ^nP_1, ......., ^nP_n$是

$g^e(x) =\sum_{k=0}^{n} \frac{x^n}{n!} ^nP_k = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} \frac{n!}{(n-k)!} = \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} x_k = \sum_{k=0}^{n} \^nC_k x_k =(1+x)^n$

指数生成函数用于确定包含重复元素的集合的 n 排列数。稍后我们将看到示例。

使用生成函数解决递归关系 –
线性齐次递推关系可以用生成函数求解。这里我们举个例子来说明。

示例：- 求解线性齐次递推方程$h_n=5h_{n-1}+6h_{n-2}$ .
给定的$h_0$ =1 和$h_1=-2$ .

我们使用生成函数来解决这个问题。令 g(x) 为序列的生成函数$h_0, h_1, h_2, ......, h_n, ....$ .
因此 g(x)= $h_0+h_1 x + h_2 x^2 +........+ h_n x^n+....$
所以我们得到以下等式。
g(x)= $h_0+h_1 x + h_2 x^2 +........+ h_n x^n+....$

-5xg(x)= $-h_0x+h_1 x^2 + h_2 x^3 +........+ h_n x^n+1+....$

$6x^2g(x)$ = $h_0 x^2+h_1 x^3 + h_2 x^4 +........+ h_n x^n+2+....$

将这 3 个数量相加我们得到
$(1+5-6x^2)g(x)=h_0 + (h_1-5h_0)x +(h_2-5h_1+6h_0)+....... +(h_n-5h_{n-1}+6h_{n-2})x^n+.....$

现在$h_n-5h_{n-1}+6h_{n-2}$ =0 对于所有 n>1。所以，

$(1+5x-6x^2)g(x)=h_0 + (h_1-5h_0)x = (1-7x)$

或 g(x)= $\frac{(1-7x)}{(1+5-6x^2)}$

现在$(1+5x-6x^2)$ =(1-2x)(1-3x)

所以，g(x)= $\frac{(1-7x)}{(1-2x)(1-3x)}$

很容易看出$\frac{(1-7x)}{(1-2x)(1-3x)}=\frac{5}{(1-2x)}-\frac{4}{(1-3x)}$

现在$\frac{1}{(1-2x)}=1 + 2x+2^2 x^2 +2^3 x^3+.... +2^n x^n+......$
和$\frac{1}{(1-3x)}=1 + 3x+3^2 x^2 +3^3 x^3+.... +3^n x^n+......$

所以 g(x)= $5(1 + 2x+2^2 x^2 +2^3 x^3+.... +2^n x^n+......)-4(1 + 3x+3^2 x^2 +3^3 x^3+.... +3^n x^n+......)$

因为这是序列的生成函数$h_0, h_1, ......h_n$我们观察到$h_n=5*2^n-4*3^n$

因此，我们可以使用生成函数求解递推方程。

通过生成函数证明身份 –
也可以用生成函数证明各种恒等式。这里我们举例说明其中的一个。

例子：证明： $^nC_r=^{(n-1)}C_r+^{(n-1)}C_{r-1}$
这里我们使用序列的生成函数$^nC_0, ^nC_1, ......^nC_r....$ IE $(1+x)^n$ .
现在， $(1+x)^n=(1+x)^{n-1}(1+x)=(1+x)^{n-1}+x(1+x)^{n-1}$
对于 LHS，术语包含$x^n$是$^nC_r$ .对于 RHS，该术语包含$x^n$是$^{(n-1)}C_r+^{(n-1)}C_{r-1}$ .所以$^nC_r=^{(n-1)}C_r+^{(n-1)}C_{r-1}$ (证实)

下面给出了有关生成函数的各种示例的链接。

1. GATE CS 2018 |问题 18
2. GATE-CS-2017(套装2)|第 52 题