行列式的性质– 12类数学

简介

行列式是矩阵的一种重要特征，它可以用来判断一个矩阵是否可逆、求解线性方程组等问题。在矩阵计算中，行列式的性质是非常重要的。在本文中，我们将介绍12类行列式的性质。

1. 行列式的线性性质

对于矩阵A，我们有以下恒等式：$$ det(cA) = c^n det(A) $$

$$ det(A + B) = det(A) + det(B) $$

其中，c为常数，n为A的阶数。这说明行列式具有线性性质，符合数学中线性映射的定义。

2. 行列式的转置性质

对于矩阵A，有以下恒等式：$$ det(A^T) = det(A) $$

这说明行列式的值不受矩阵的转置而变化，也是行列式具有重要性质之一。

3. 行列式的对角线性质

对于对角矩阵D，有以下恒等式：$$ det(D) = \prod_{i=1}^n d_{ii} $$

其中，dii表示第i个对角元素。这是因为对角矩阵的非零元素只存在于对角线上。

4. 行列式的三角矩阵性质

对于上（下）三角矩阵U（L），有以下恒等式：$$ det(U) = \prod_{i=1}^n u_{ii} $$

$$ det(L) = \prod_{i=1}^n l_{ii} $$

其中，uii和lii表示第i行或第i列第i个元素。这也与对角矩阵相似，因为三角矩阵除对角线元素外都是0。

5. 行列式的倍增性质

对于矩阵A和B，有以下恒等式：$$ det(AB) = (det(A))(det(B)) $$

这说明行列式的值乘以两个矩阵的行列式的乘积等于这两个矩阵乘积的行列式。

6. 行列式的逆性质

对于可逆矩阵A，有以下恒等式：$$ det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)} $$

这说明可逆矩阵的行列式倒数等于该矩阵的行列式的倒数。

7. 行列式的行交换性质

交换矩阵A的行会导致行列式的值变号，即$$ det(A) = -det(A') $$

其中A'表示将A的两行进行交换后得到的矩阵。

8. 行列式的元素有关性质

对于矩阵A，如果有两行的对应元素成比例，那么行列式的值为0。

$$ \begin{bmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{vmatrix} a & b & c \ ad & be & cf \ g & h & i \end{vmatrix} = 0 $$

这是因为这两行的线性组合可以表示为矩阵的一个子式，从而行列式的值为0。

9. 行列式的两行成比例性质

如果矩阵A的两行成比例，那么行列式的值为0。

10. 行列式的两行和性质

如果矩阵A的两行（列）成比例，那么矩阵A的每一行（列）的加权和的行列式为0。

11. 行列式的行和性质

如果矩阵A的某一行（列）的每个元素都等于两个数的和，那么矩阵A的每一行（列）的和的行列式可以表示为两个矩阵行列式相加。

$$ \begin{vmatrix} a & b & c \ d+e & e+f & f+g \ g & h & i \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & b & c \ e & f & g \ g & h & i \end{vmatrix} $$

12. 行列式的可逆性质

如果矩阵A的行（列）线性相关，那么行列式的值为0，说明该矩阵是不可逆的。

以上就是12类行列式的性质。行列式除了具有以上的性质外，还有很多其他的性质。掌握这些性质是进行行列式操作的基础。