行列式的性质– 12类数学

我们可以看到行列式有8个重要属性，其中包括标量多重属性，行列式转置(反射属性)，行/列交换(切换属性)，行运算后将行的一部分添加到另一行的行列式，重复行行列式(重复属性)，如果任何列或行的所有元素均为零，则行列式为零(全零属性)，如果行列中行或列的所有(求和属性)元素均表示为两个或两个以上的数字，则可以将行列式分解为相应的较小行列式的总和，即上三角矩阵或下三角矩阵的行列式(对角性质)。下面将详细介绍所有决定因素的性质以及所解决的示例。

标量多重属性

如果行列式的任何行或列乘以任何标量值(即非零常数)，则整个行列式都乘以相同的标量，即，如果行或列乘以常数k，则行列式值乘以k。常数可以是任何实数。

范例1：

$\\Let \Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3\\ 4 & 1 \end{vmatrix} = det(\Delta) = 2(1) - 3(4) = -10\\$

Now, on multiplying by k =  1/2, first row,

det(Δ’) = 1(1) – 4(3/2) = -5

Therefore det(Δ’) = 1/2 det(Δ)
⇒ det(Δ’) = k det(Δ)

范例2：

$Let \Delta = \begin{vmatrix} 5 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 5\\ 1 & 8 & 7 \end{vmatrix}$

Now, on multiplying by k =  3  , first column,
                                               2 

Therefore det(Δ’) = 3/2  det(Δ)

⇒ det(Δ’) = k det(Δ) 

行列式的转置(反射特性)

转置是指交换行列式行和列的操作。行变成列，列按顺序变成行。对于任何行列式| A |，用| A ^{T |表示。}
该属性表示行列式在转置时保持不变，即| A ^T |。 = | A | 。

Example 1:

⇒ det(A) =  det(A^T)

Example 2:

行/列互换(切换属性)

如果我们交换行列式的任意两行/列，则大小(即正负号)会发生变化，但是行列式值保持不变。
现在行列式值=(-1)^交换数

Example 1:

If we interchange C₁ and C₃, denoted by C₁↔ C₃

det (Δ) = -det(Δ’)
If we again interchange R₁ and R₂, denoted by R₁↔ R₂ 

det(Δ”) = -det(Δ’)
             = det (Δ)  

Example 2:

Performing a row operation, we get, 

If we interchange R₁ and R_2, denoted by R₁ ↔ R₂

det(Δ) = – det(Δ’)
If we again interchange R₂ and R₃, denoted by R₂ ↔ R₃

det(Δ”) = – det(Δ’)
            =  det(Δ)

行运算后将行的一部分与另一行相加的行列式

如果将行的倍数添加到行列式的另一行，则其值保持不变。

Example 1:

det (Δ) = 1 + (-26) = -25

R₁ ⇠ R₁ + 2R₂

det (Δ’) = -6 + (-7)(-1) + (-26)
= -6 + 7 – 26  
= -25         
det (Δ) = det (Δ’)

Example 2:

det(Δ) = [8{(5 × 7) – (9 × 3)} – 6{(1 × 7) – (0 × 3)} + 8{(1 × 9) – (5 × 0)}]
det(Δ) = 94                                                                                 

R₃ ⇢ R₃ + 2R₂                                                     

det(Δ’) =  [8{(5 × 7) – (9 × 5)} – 6{(1 × 7) – (0 × 5)} + 24{(1 × 9) – (5 × 0)}]
det(Δ’) = 94                                                                                    

det (Δ) = det (Δ’)

行行列式重复(重复属性)

如果行列式的任何一对行或列完全相同或按相同的比例成比例，则行列式为零

Example 1:

det(Δ) = [1{(2 × 0) – (-8 × 3) – 1{(2 × 0) – (-8 × 3)} + 4{(2 × 3) – (2 × 3)}]

det(Δ) = 0 (since R₁ and R₂ are identical)

Example 2:

det(Δ) = [8{(6 × 7) – (6 × 7)} – 5{(1 × 7) – (6 × 0)} + 5{(1 × 7) – (6 × 0)}]

det(Δ) = 0 (since R₂ and R₃ are identical)

全零属性

如果任何列或行的所有元素均为零，则行列式为零

Example 1:

det(Δ) = 0 (since C₁⇢0)

Example 2:

det(Δ) = 0 (since R₂ ⇢0)

总和

如果行列式中行或列的所有元素都表示为两个或多个数字的总和，则可以将行列式分解为对应的较小行列式的总和。

$\Delta = \begin{vmatrix} a + 5m & d & g\\ b + 7n & e & h\\ c + 3p & f & i \end{vmatrix}$

$\Delta = \begin{vmatrix} a & d & g\\ b & e & h\\ c & f & i \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 5m & d & g\\ 7n & e & h\\ 3p & f & i \end{vmatrix}$

对角线性质

如果行列式中对角线以上或以下的所有元素均为零，则行列式为对角线元素的乘积

Example 1:

Example 2:

det(Δ) = 2×1×8×9 = 144