数学 |条件概率

条件概率 P(A | B) 表示给定事件 B 发生的事件“A”发生的概率。

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

我们可以使用下图轻松理解上述公式。由于 B 已经发生，样本空间减少到 B。所以 A 发生的概率变为$P(A \cap B)$除以 P(B)

例子：
在一批中，80% 是 C 程序员，40% 是Java和 C 程序员。 C 程序员同时也是Java程序员的概率是多少?

Let A --> Event that a student is Java programmer
    B --> Event that a student is C programmer
    P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
           = (0.4) / (0.8)
           = 0.5
So there are 50% chances that student that knows C also 
knows Java 

产品规则：
通过将两边乘以 P(B) 由上述条件概率的定义导出

P(A ∩ B) = P(B) * P(A|B) 

通过树理解条件概率：
条件概率的计算可以使用树来完成，这种方法在解决许多问题时非常方便且快速。

示例：在某个图书馆，有 20% 的小说书籍已磨损并需要更换。 10% 的非小说类书籍已磨损，需要更换。图书馆图书的百分之四十是小说，百分之六十是非小说。随机选择的一本书被磨损的概率是多少?绘制表示数据的树形图。

解：设 F 代表小说类书籍，N 代表非小说类书籍。设 W 代表旧书，G 代表非旧书。

P(worn)= P(N)*P(W | N) + P(F)*P(W | F)
              
           = 0.6*0.1  +  0.4* 0.2      
           = 0.14

锻炼：
1) P(A|A) 的值是多少?

2)设 P(E) 表示事件 E 的概率。 给定 P(A) = 1，P(B) = 1/2，P(A | B) 和 P(B | A) 的值分别为(GATE CS 2003)
(A) 1/4, 1/2
(乙) 1/2, 1/14
(C) 1/2, 1
(D) 1, 1/2
请参阅此解决方案。

参考：
http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-042j-mathematics-for-computer-science-fall-2010/video-lectures/lecture-19-conditional-probability/