数学 |广义 PnC 集 2

先决条件 –广义 PnC 集 1
组合问题可以用几种不同的方式重新表述，其中最常见的是将球分配到盒子中。所以我们必须熟悉术语才能解决问题。
球和盒子可以是可区分的，也可以是不可区分的，分布可以排除也可以不排除。
术语排除意味着没有一个盒子可以包含多个球，同样，如果问题表明分布是没有排除的，则意味着一个盒子可能包含多个球。
在整篇文章中认为有$m$球和$n$盒子。

1. 可区分的球和可区分的盒子 –

With Exclusion –在排除的情况下，分配与计数相同$r$ -排列，因为有$n$第一个球的选择， $n-1$以此类推。
不排除 –当分布不排除时，即没有限制一个盒子必须拥有的最小球数，方法的数量 – $n^m$ .这是因为每个球都有$n$选择。
固定数量的球——如果分布是这样的，每个盒子应该只有固定数量的球，那么方法的数量是——
$\frac{m!}{m_1!m_2!...m_k!}$在哪里$m_k$是要放入的球数$k^{th}$盒子。

• 示例 1 – 10 份奖品可以以多少种方式在 5 人中无排外地分配?
• 解决方案 –这种情况类似于将不同的球分配到不同的盒子中而不排除。对于每个奖品，有 5 人可以选择领取它。所以分配奖品的方式是—— $5^{10}$ .
• 示例 2 –有多少种方法可以将标准的 52 张牌中的 5 张牌分配给四名玩家中的每人?
• 解决方案 –这种情况类似于将不同的球分配到不同的盒子中，其中每个盒子必须有一定数量的球。
  第一人可以通过 C(52,5) 方式获得卡片。
  第二个人可以通过C(47,5)方式拿到牌，依此类推，直到第四人可以通过C(37,5)方式拿到牌。在分发了 20 个球(牌)后，剩下的牌形成第五个盒子(或玩家)。
  这可以通过乘积规则来解决，总方式 –
  = $C(52,5) * C(47,5) * C(42,5) * C(37,5)$

  = $\frac{52!}{47!5!}\frac{47!}{42!5!}\frac{42!}{37!5!}\frac{37!}{32!5!}$

  = $\frac{52!}{5!5!5!5!32!}$
  这也可以使用上述公式使用组大小 5、5、5、5 和 32 来解决。

2. 不可区分的球和可区分的盒子 –

计算将无法区分的球放入可区分的盒子中的方法的数量与计算相同$r$ – 没有重复元素的组合。但是如果分布没有排除，那么问题与计算数量相同$r$ – 可以重复元素的组合。有关此主题的更多信息，请参阅 Generalized PnC Part-1。

3. 可区分的球和不可区分的盒子 –

没有简单的封闭公式来计算将可区分的球分布到不可区分的盒子中的方式的数量，但有一个涉及第二类斯特林数的复杂公式。
斯特林数表示为$S(m,j)$在哪里$m$是球的数量和$j$是非空盒子的数量。
$S(m,j) = \frac{1}{j!}\sum\limits_{i=0}^{j-1}(-1)^i \binom{j}{i} (j-i)^m$
所以方法的数量是- $\sum\limits_{j=1}^{n}S(m,j)$

4. 无法区分的球和无法区分的盒子 –

计算将不可区分的球分布到不可区分的对象中的方式的数量类似于找到正整数的分区数。不存在用于查找正整数的分区数的简单公式。

对于上述两种情况，枚举所有方式有时比找到给出相同结果的封闭公式更容易。

• 示例 1 –有多少种方法可以将四个不同的球放入三个无法区分的办公室而不受排斥?
• 解决方案 –枚举所有可能的场景而不是使用斯特林公式更容易。让四个球$a, b, c\:and\:d$ .
  一盒所有球 – $\{\{a,b,c,d\}\}$
  一个盒子里有 3 个球，另一个盒子里有 1 个球——
  $\{\{a,c,d\},\{b\}\},\:\{\{a,b,c\},\{d\}\},\:\{\{a,b,d\},\{c\}\},\:\{\{b,c,d\},\{a\}\}$
  一个盒子里有 2 个球，另一个盒子里有 2 个球——
  $\{\{a,b\},\{c,d\}\},\:\{\{a,d\},\{b,c\}\},\:\{\{a,c\},\{b,d\}\}$
  一盒 2 个球，其余盒中各 1 个球-
  $\{\{a,b\},\{c\},\{d\}\},\:\{\{a,d\},\{b\},\{c\}\},\:\{\{a,c\},\{b\},\{d\}\},\:\{\{b,c\},\{a\},\{d\}\}$
  $\{\{b,d\},\{a\},\{c\}\},\:\{\{d,c\},\{b\},\{a\}\}$
  这给了我们总共 – 1 + 3 + 4 + 6 = 14 种方式。
• 示例 2 –将 4 个无法区分的球放入 3 个无法区分的盒子中有多少种方法?
• 解——如上所说，上述问题类似于求正整数4的分区数，其中分区数小于等于3。
  列举所有可能的方式-
  一个盒子里的所有四个球 – 4
  一盒三球，一球一球 – 3,1
  两个盒子中的 2 个球 – 2,2
  1 盒装 2 个球，每个盒装 1 个球 – 2,1,1
  方式总数 = 4
  它类似于查找 4-的分区数
  4 = 4
  3 + 1 = 4
  2 + 2 = 4
  2 + 1 + 1 = 4

GATE CS 角问题

练习以下问题将帮助您测试您的知识。所有问题都在前几年的 GATE 或 GATE 模拟测试中提出。强烈建议您练习它们。

1. GATE CS 2003，问题 34
2. GATE CS 2015 Set-3，问题 15

参考-

分区数理论 – 维基百科
离散数学及其应用，Kenneth H Rosen