子集总和是NP完成

先决条件： NP完成度，子集总和问题

子集总和问题：给定N个非负整数a ₁ …a _N和目标总和K ，任务是确定是否存在一个总和等于K的子集。

说明：问题的一个实例是为问题指定的输入。子集和问题的一个实例是集合S = {a ₁ ，…， _N }和整数K。由于NP完全问题是NP和NP难题中的一个问题，因此证明问题为NP完全的陈述的证明包括两部分：

1. The problem itself is in NP class.
2. All other problems in NP class can be polynomial-time reducible to that. (B is polynomial-time reducible to C is denoted as B ≤ P^C)

如果仅满足第二个条件，则该问题称为NP-Hard 。

但是不可能始终将每个NP问题都简化为另一个NP问题以显示其NP完整性。这就是为什么如果我们想说明一个问题是NP完全我们只是表明，问题是NP和任何NP完全问题是还原到那么我们完成也就是说，如果B是NP完全和B≤P^下NP中的C，则C为NP-Complete。因此，我们可以使用以下两个命题来验证子集总和问题是NP-Complete的：

子集总和在NP中：
如果NP中有任何问题，那么给定证书，该证书可以解决问题和问题的实例(集合S的整数a ₁ …a _N和整数K )，我们将能够识别(是否解决方案正确与否)多项式时间内的证书。这可以通过检查子集S’中的整数之和等于K来完成。

子集总和为NP-Hard：
为了证明子集总和是NP-Hard，请将已知的NP-Hard问题简化为该问题。
进行还原，从该还原可以将“顶点覆盖问题”简化为“子集和”问题。让我们假设一个图G(V，E)，其中V = {1,2，…，N}。现在，对于每个顶点i， a _i = i 。对于每个边(i，j)，我们定义一个称为b _ij的分量。
我们将以矩阵格式表示整数，其中每一行均以| E | +1位对应整数值的以4为基数的形式表示。
矩阵具有以下属性：

1. 第一列包含一个_i的整数值1和一个b _ij的整数值0。
2. 从矩阵的右侧开始的每个E列代表每个边缘的数字。 (i，j)列等于a _i ， a _j和b _ij ，否则等于0。
3. 我们定义一个常数k’使得

   $k' = k(4^{|E|}) + \sum _{i=0}^{|E|-1}2(4^{i})$

现在，以下命题成立：

• 让我们考虑分别为(V’，E’)的顶点和边的子集，这样

  $\sum _{i\epsilon V'}a_{i} + \sum _{(i, j)\epsilon E'}b_{ij} = k'$

  b _ij在每一列中最多可以包含1个。同样，k’参数的所有低有效数字均为2，直至| E |。我们永远不能随身携带这些数字。现在，这些数字在每列中的总和最多为三个1。这意味着对于每个边(i，j)，V’必须包含i或j。因此，V’成为顶点覆盖。

• 让我们假设存在一个大小为k的“顶点覆盖”，我们将选择整数a _i使得i处于V’中，而所有b _ij使得i或j处于V’中。对所有这些以基数4表示的整数求和(我们从矩阵中选择)，我们得到整数之和= k’。因此，所选的整数形成sum = k’的整数子集。因此，子集总和成立。

让我们考虑以下示例，
给定一个顶点覆盖率V = {1，3}并且k = 2

现在，a ₁ = 1，a ₂ = 2，a ₃ = 3，a ₄ = 4

可以通过以下方式构造矩阵：

=> $k' = k(4^{4})+\sum _{i=0}^{3}2(4^{i})$

=> $k' = 2(4^{4})+2(4^{0})+2(4^{1})+2(4^{2})+2(4^{3})$

=> $k' = 2(256+1+4+16+64) = 682$

现在，为了证明k’的值，让我们选择一个_i使得i处于V’中，我们选择一个₁和一个₃以及一个b _ij使得i或j都位于V’中，即我们选择b _ij这样i或j在V’中，即我们从矩阵中_{选择b 12} ，b ₁₄ ，b ₂₃和b _34。在基数4表示中，我们具有以下值：

a ₁ = 321，a ₃ = 276，b ₁₂ = 64，b ₂₃ = 16，b ₁₄ = 1，b ₃₄ = 4

这些值是使用矩阵计算的。综合这些值，我们得出，

k’= 321 + 276 + 64 + 16 + 1 + 4 = 682。

因此，可以计算和验证k’值。

因此，子集总和问题是NP-完全的。