3-着色是 NP 完成

先决条件： NP-完全性，图形着色

图 K 着色问题：无向图的 K 着色问题是将颜色分配给图的节点，使得没有两个相邻的顶点具有相同的颜色，并且最多使用 K种颜色来完成图的着色。

问题陈述：给定一个图G(V, E)和一个整数 K = 3，任务是确定该图是否可以使用最多 3种颜色进行着色，以便没有两个相邻的顶点被赋予相同的颜色。

说明：
问题的一个实例是为问题指定的输入。 3-coloring 问题的一个例子是无向图G (V, E) ，任务是检查是否有可能为每个顶点V分配颜色，仅使用 3 种不同的颜色，每个相邻的颜色都不同。由于 NP-Complete 问题是一个既属于NP又属于NP-hard的问题，因此问题是 NP-Complete 的证明由两部分组成：

1. The problem itself is in NP class.
2. All other problems in NP class can be polynomial-time reducible to that.(B is polynomial-time reducible to C is denoted as B ≤ P^C)

如果仅满足第二个条件，则该问题称为NP-Hard 。

但是不可能将每个 NP 问题都化简为另一个 NP 问题以始终显示其 NP-Completeness。因此，要证明一个问题是 NP-Complete，那么证明该问题在NP 中并且任何NP-Complete 问题都可以简化为，即如果 B 是 NP-Complete 并且 B≤P ^C那么对于 NP 中的 C，则 C是 NP 完全的。因此，使用以下两个命题可以得出结论，图 K 着色问题是 NP 完全问题：

3-着色问题在 NP 中：
如果在 NP 中有任何问题，那么，给定一个证书，它是问题的解决方案和问题的实例（图G(V, E)和颜色分配{c ₁ , c ₂ , c ₃ }其中每个顶点都从这三种颜色中分配了一种颜色{c ₁ , c ₂ , c ₃ } )，然后可以在多项式时间内验证（检查给出的解决方案是否正确）证书。这可以通过以下方式完成：

For each edge {u, v} in graph G verify that the color c(u) != c(v)

因此，可以在图形的多项式时间内检查分配的正确性，该时间相对于其边 O(V+E)。

3-着色问题是NP-Hard：
为了证明 3-着色问题是 NP-Hard 问题，将已知的 NP-Hard 问题简化为该问题。进行一个简化，从中可以将 3-SAT 问题简化为 3-着色问题。让我们假设 3-SAT 问题有一个 3-SAT 公式，该公式包含 n 个变量上的 m 个子句，由x ₁ , x ₂ , …, x _{n 表示}。然后可以通过以下方式根据公式构建图形：

1. 对于每个变量x _i在图中构造一个顶点v _i和一个顶点v _i’表示变量x _i的否定。
2. 对于 m 中的每个子句 c，添加对应于值 c1、c1、…、c5 的 5 个顶点。
3. 另外添加了三个不同颜色的顶点以分别表示值 True、False 和 Base (T, F, B)。
4. 在这三个附加顶点T、F、B之间添加边以形成三角形。
5. 在顶点v _i和v _i’以及底 (B) 之间添加边以形成三角形。

对于图 G，以下约束条件为真：

1. 对于每对顶点v _i和v _i’ ，其中一个被分配一个 TRUE 值，另一个被分配 FALSE。
2. 对于 m 个子句中的每个子句 c，至少有一个字面量必须保持 TRUE 值才能为真。

因此，可以通过输入节点 u、v、w 为公式中的每个子句c = (u V v V w)构建一个小的 OR-gadget 图，并将 gadget 的输出节点连接到 False 和 Base 特殊节点。

让我们考虑公式f = (u’ V v V w’) AND (u V v V w’)

现在可以通过以下两个命题证明归约：
让我们假设 3-SAT 公式有一个令人满意的赋值，那么在每个子句中，至少有一个字面量x _i必须为真，因此，相应的v _i可以分配给一个 TRUE 颜色，而v _i’为错误的。现在，扩展这一点，对于每个子句，相应的 OR-gadget 图可以是 3 色的。因此，该图可以是 3 色的。

让我们考虑图 G 是 3-colorable 的，所以如果顶点 vi 被赋值为真颜色，那么变量 x _i相应地被赋值为真。这将形成一个合法的真理分配。此外，对于任何子句C _j = (x V y V z) ，不可能所有三个字面量x, y, z 都是假的。因为在这种情况下， C _j的 OR-gadget 图的输出必须着色为 False。这是一个矛盾，因为输出连接到 Base 和 False。因此，存在对 3-SAT 子句的令人满意的赋值。

结论：因此，3-着色是一个NP-完全问题。

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