优化的最长路径是 NP Complete

优化最长路径问题：优化最长路径问题指出，给定一个图G ，由一组顶点V和边E 组成，任务是证明在一组节点V _s和边 E 之间存在长度至少为 K 的路径。 V_即

问题陈述：给定一个图G(V, E, K)和一组具有节点序列的节点V _s和 V _e ，长度≥ K 。

说明：
问题的一个实例是为问题指定的输入。优化最长路径问题的一个实例是G(V, E, V _s , V _e , K) 。由于一个 NP-完全问题是一个同时在NP和NP-Hard中的问题，所以问题是 NP-Complete 的陈述的证明由两部分组成：

1. The problem itself is in NP class.
2. All other problems in NP class can be polynomial-time reducible to that.
   (B is polynomial-time reducible to C is denoted as B≤P^C)

如果仅满足第二个条件，则该问题称为NP-Hard 。

但是不可能将每个 NP 问题都化简为另一个 NP 问题以始终显示其 NP-Completeness。这就是为什么如果我们想证明一个问题是 NP-Complete，我们只需要证明这个问题是 NP 并且任何 NP-Complete 问题都可以简化为它，那么我们就完成了，即如果 B 是 NP-Complete 并且B ≤ P ^C对于NP 中的 C，则 C 是 NP-Complete。因此，我们可以使用以下两个命题来验证优化的最长路径问题是 NP-Complete 的：

• 优化最长路径问题在 NP 中：
  如果任何问题在 NP 中，给出一个“证书”，它是问题的解决方案和问题的一个实例，那么可以在多项式时间内验证（检查给出的解决方案是否正确）证书。这可以通过路径 P来完成，该路径由一组顶点 < V ₁ , V ₂ , V ₃ , ….V _n > 组成。验证路径是否_{完全连接V 1}和V _n并且路径长度至多为K 。

• 优化最长路径问题是 NP-Hard：
  为了证明最长路径是 NP-Hard，从已知的 NP-Hard 推导出问题的约简。进行一个归约，其中无向哈密顿路径问题可以归结为最长路径问题。无向哈密顿路径使用输入图G(V ₁ , V _n ) ，其中图 G 具有节点 V ₁和 V _n 。无向哈密顿路径是沿着图的无向路径，从一个顶点开始，到另一个顶点结束，遍历所有节点。

  现在，让K为 G 中的节点数。无向哈密顿路径的每个实例都可以通过以下方式转换为最长路径：
  对于输入 G(V ₁ , V _n )，输出 G(V ₁ , V _n , k)。通过简单地计算 G 中的顶点数，这种归约需要多项式时间。 这种归约可以通过以下两个命题来证明：

  1. 假设原始图G(V, E)有节点V ₁并且 V _n有一条无向哈密顿路径，它遍历所有顶点，因此G(V, E, K)为真，因为G 中的任意两个节点都将是由长度等于其节点的路径连接，即K因此最长路径问题成立。
  2. 让我们假设图G'(V, E, V _s , V _e , K)具有从 V _s到 V _e的长度为K的 Lpath，这意味着G’包含从 V _s到 V _e的长度为K 的简单路径.
     但是，G 包含 K 个顶点，因此遍历从 V _s开始到 V _e结束的所有顶点，形成哈密顿路径G'(V _s , V _e ) 。

     

     设 V ₁ ≡ B 和 V _n ≡ D
     现在， G具有 K = 4 的无向哈密顿路径 ≡ BCAD。
     因此，G 包含 B 和 D 之间长度为 4 的优化路径。

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