优化的最长路径是NP完整

优化的最长路径问题：优化的最长路径问题指出，给定一组顶点V和边E的图形G ，任务是证明在一组节点V _s和V之间存在至少为K的路径。 V _e 。

问题陈述：给定一个图G(V，E，K)以及一组节点V _s和V _e ，其节点序列的长度≥K 。

说明：
问题的一个实例是为问题指定的输入。最优化最长路径问题的一个实例是G(V，E，V _s ，V _e ，K) 。由于NP完全问题是NP和NP-Hard中都存在的问题，因此证明问题是NP-Complete的陈述的证明包括两部分：

1. The problem itself is in NP class.
2. All other problems in NP class can be polynomial-time reducible to that.
   (B is polynomial-time reducible to C is denoted as B≤P^C)

如果仅满足第二个条件，则该问题称为NP-Hard 。

但是不可能始终将每个NP问题都简化为另一个NP问题以显示其NP完整性。这就是为什么如果我们想证明问题是NP-Complete，我们只是证明问题出在NP-NP中，并且任何NP-Complete问题都可归结为NP-Complete，那么我们就完成了，即，如果B是NP-Complete且B≤P ^C对于NP中的C，则C为NP-Complete。因此，我们可以使用以下两个命题来验证优化的最长路径问题是NP完全的：

• 优化最长路径问题在NP中：
  如果NP中存在任何问题，则给定“证书”，该证书可以解决问题和问题的实例，然后可以验证(多项式中提供的)证书是否正确(检查给出的解决方案是否正确)。这可以通过路径P来完成，该路径P由一组顶点1 ，V ₂ ，V ₃ ，…. V _n >组成。验证路径是否_{完全连接V 1}和V _n ，并且路径的长度最大为K。

• 优化最长路径问题是NP-Hard：
  为了证明最长路径是NP-Hard，推论出从已知NP-Hard到问题的简化。进行还原，将无向的哈密顿路径问题简化为最长路径问题。无向哈密顿路径使用输入图G(V ₁ ，V _n ) ，其中图G具有节点V ₁和V _n 。无向哈密顿路径是沿着图的无向路径，从一个顶点开始，到遍历所有节点的另一点终止。

  现在，令K为G中的节点数。可以通过以下方式将无向哈密顿路径的每个实例转换为最长路径：
  对于输入G(V ₁ ，V _n )，输出G(V ₁ ，V _n ，k)。通过简单地计算G中的顶点数，该约简花费了多项式时间。该约简可以通过以下两个命题证明：

  1. 假设原始图G(V，E)的节点为V ₁且V _n具有无向的哈密顿路径，该路径遍历所有顶点，因此G(V，E，K)为true，因为G中的任何两个节点都是通过长度等于其节点的路径(即K)连接，因此，最长路径问题成立。
  2. 让我们假设图G ‘(V，E，V _{S，V E，K)}从Vs_的至V _E，这意味着ģ长度K的LPATH’包含长度为K的从Vs_的到V _E中的简单路径。
     但是，G包含K个顶点，因此遍历所有从V _s到V _e的顶点，从而形成了哈密顿路径G’(V _s ，V _e ) 。

     

     令V _1≡B和_VÑ≡d
     现在， G具有K = 4的无向哈密顿路径Path BCAD。
     因此，G在B和D之间包含长度= 4的优化路径。