优化的最长路径是NP完整


优化的最长路径问题优化的最长路径问题指出,给定一组顶点V和边E的图形G ,任务是证明在一组节点V sV之间存在至少为K的路径。 V e

问题陈述给定一个图G(V,E,K)以及一组节点V s和V e ,其节点序列的长度≥K

说明
问题的一个实例是为问题指定的输入。最优化最长路径问题的一个实例是G(V,E,V s ,V e ,K) 。由于NP完全问题是NPNP-Hard中都存在的问题,因此证明问题是NP-Complete的陈述的证明包括两部分:

如果仅满足第二个条件,则该问题称为NP-Hard

但是不可能始终将每个NP问题都简化为另一个NP问题以显示其NP完整性。这就是为什么如果我们想证明问题是NP-Complete,我们只是证明问题出在NP-NP中,并且任何NP-Complete问题都可归结为NP-Complete,那么我们就完成了,即,如果B是NP-Complete且B≤P C对于NP中的C,则C为NP-Complete。因此,我们可以使用以下两个命题来验证优化的最长路径问题是NP完全的:

  • 优化最长路径问题在NP中
    如果NP中存在任何问题,则给定“证书”,该证书可以解决问题和问题的实例,然后可以验证(多项式中提供的)证书是否正确(检查给出的解决方案是否正确)。这可以通过路径P来完成,该路径P由一组顶点<V 1 ,V 2 ,V 3 ,…. V n >组成。验证路径是否完全连接V 1和V n ,并且路径的长度最大为K。

  • 优化最长路径问题是NP-Hard:
    为了证明最长路径是NP-Hard,推论出从已知NP-Hard到问题的简化。进行还原,将无向的哈密顿路径问题简化为最长路径问题。无向哈密顿路径使用输入图G(V 1 ,V n ) ,其中图G具有节点V 1和V n 。无向哈密顿路径是沿着图的无向路径,从一个顶点开始,到遍历所有节点的另一点终止。

    现在,令K为G中的节点数。可以通过以下方式将无向哈密顿路径的每个实例转换为最长路径:
    对于输入G(V 1 ,V n ),输出G(V 1 ,V n ,k)。通过简单地计算G中的顶点数,该约简花费了多项式时间。该约简可以通过以下两个命题证明:

    1. 假设原始图G(V,E)的节点为V 1且V n具有无向的哈密顿路径,该路径遍历所有顶点,因此G(V,E,K)为true,因为G中的任何两个节点都是通过长度等于其节点的路径(即K)连接,因此,最长路径问题成立。
    2. 让我们假设图G ‘(V,E,V S,V E,K)从Vs至V E,这意味着ģ长度KLPATH’包含长度为K的从Vs到V E中的简单路径。
      但是,G包含K个顶点,因此遍历所有从V s到V e的顶点,从而形成了哈密顿路径G’(V s ,V e )

      令V 1≡BVÑ≡d
      现在, G具有K = 4的无向哈密顿路径Path BCAD。
      因此,G在B和D之间包含长度= 4的优化路径。

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