数学 | 生成函数 - 设置 2

介绍

生成函数是一种重要的数学工具，它可以将一个数列转化为一个函数。生成函数有许多应用，例如组合数学、离散数学、概率论、统计和物理学等领域。

在本文中，我们将探讨生成函数的设置2，也就是如何利用生成函数求解数学问题。

生成函数的设置2

生成函数的设置2通常用于求解两个序列相乘后生成的序列。

简单乘法

首先，我们需要将两个数列表示成生成函数的形式。假设数列 $a_n$ 的生成函数为 $A(x)$，数列 $b_n$ 的生成函数为 $B(x)$，那么两个数列相乘后生成的序列的生成函数为 $A(x) \cdot B(x)$。这种方法被称为简单乘法。

例如，如果数列 $a_n$ 是斐波那契数列，数列 $b_n$ 是 $1,2,3,\dots$ 这个数列，那么它们的生成函数分别为：

$$ A(x)=\frac{1}{1-x-x^2},\quad B(x)=\frac{1}{1-x} $$

我们可以将它们相乘得到：

$$ A(x) \cdot B(x) = \frac{1}{1-x-x^2} \cdot \frac{1}{1-x} $$

然后将上式化简：

$$ \begin{aligned} A(x) \cdot B(x) =& \frac{1}{(1-x)(1-x-x^2)} \ =& \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \left( \frac{1}{1 - \frac{1+\sqrt{5}}{2}x}

• \frac{1}{1 - \frac{1-\sqrt{5}}{2}x}\right) \ =& \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sum_{n=0}^\infty \left( \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n
• \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \right) x^n \end{aligned} $$

因此，斐波那契数列和数列 $1,2,3,\dots$ 相乘后生成的序列的第 $n$ 项为：

$$ c_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right) $$

多项式乘法

我们还可以使用多项式乘法来求解生成函数。

假设数列 $c_n$ 的生成函数为 $C(x)$，数列 $a_n$ 的生成函数为 $A(x)$，数列 $b_n$ 的生成函数为 $B(x)$。那么 $c_n$ 可以表示为：

$$ c_n = [x^n] C(x) $$

其中 $[x^n]$ 表示 $x^n$ 在表达式中的系数。可以使用多项式乘法将 $C(x)$ 表示为 $A(x)$ 和 $B(x)$ 的乘积：

$$ C(x) = A(x) \cdot B(x) $$

例如，如果我们要求解斐波那契数列和数列 $1,2,3,\dots$ 相乘后生成的序列的第 $n$ 项，可以先将斐波那契数列和数列 $1,2,3,\dots$ 的生成函数表示出来：

$$ A(x)=\frac{1}{1-x-x^2},\quad B(x)=\frac{1}{1-x} $$

然后将它们相乘得到：

$$ C(x) = A(x) \cdot B(x) = \frac{1}{(1-x)(1-x-x^2)} $$

最后，求解 $[x^n] C(x)$ 即可。这种方法被称为多项式乘法。

总结

生成函数是一种非常有用的数学工具，可以将数列转化为一个函数，从而方便地进行求解。生成函数的设置2可以用于求解两个序列相乘后生成的序列，可以使用简单乘法或多项式乘法，具体方法取决于问题的复杂度。