计算共 $m$ 个点共 $m$ 个共线的不同直线的计数

问题描述

已知平面上有 $m$ 个点，其中任意三点不共线。求出这 $m$ 个点中所有可能的直线的条数。

解决方案

思路分析

采用数学归纳法的思想，假设已知 $m-1$ 个点时的直线条数为 $f(m-1)$，那么当加入第 $m$ 个点时，它将与之前的任意一个点组成一条直线，加上它自己所在的直线，共 $m$ 条直线。同时，第 $m$ 个点可以与之前的任意两个点组成一条直线，这样就会有 $\binom{m-1}{2}$ 条直线。因此，当考虑了第 $m$ 个点后，共线的直线个数为 $m+\binom{m-1}{2}=f(m)$。

代码实现

def count_lines(m: int) -> int:
    return m + (m - 1) * (m - 2) // 2

时间复杂度

由于只有一个简单的公式，计算时间为 $O(1)$。

总结

本文介绍了如何计算有 $m$ 个点出现时可能的直线的条数。采用数学归纳法的思想，不难得到计算公式。在代码实现时，只需一行代码即可，时间复杂度为 $O(1)$。