直线计数问题

直线计数问题是指在平面直角坐标系内，具有共 $n$ 个点且共线的不同直线的计数问题。该问题是组合数学中的经典问题，也是计算几何中的重要问题之一。

常规做法

对于 $n$ 个点，其中任意 $2$ 个点可以确定一条直线。因此，不同的直线数目为：

$$ \frac{C_n^2}{2}=\frac{n(n-1)}{2} $$

但是，这种方式存在问题，即只考虑了不同的点对，没有考虑三点共线的情况。因此，需要对于任意 $3$ 个不同的点，判断它们是否共线，从而排除掉共线的直线。假设共有 $m$ 条直线经过至少 $3$ 个点，那么最终的直线数目为：

$$ \frac{n(n-1)}{2}-m $$

其中，$m$ 可以通过以下方式计算：枚举每三个不同的点，判断它们是否共线。这种方法时间复杂度较高，为 $O(n^3)$。

快速做法

上面的做法时间复杂度较高，因此，我们考虑采用快速做法。具体来说，可以采用极角排序的方式，将所有的点按照极角大小排序，然后依次判断相邻的三个点是否共线即可。这种做法的时间复杂度为 $O(n\log n)$。

代码实现如下：

def line_count(points):
    """
    计算具有共 n 个点且共线的不同直线的计数
    :param points: 点列表，每个点是一个 (x,y) 的元组
    :return: 直线数目
    """
    n = len(points)
    lines = set() # 记录不同的直线
    for i in range(n):
        angles = [] # 存储与点 i 形成的直线的极角
        for j in range(n):
            if i == j:
                continue
            angle = math.atan2(points[j][1]-points[i][1],points[j][0]-points[i][0])
            angles.append((angle,j))
        angles.sort()
        for j in range(len(angles)-2):
            if abs(angles[j][0]-angles[j+1][0]) < 1e-9 and abs(angles[j][0]-angles[j+2][0]) < 1e-9:
                lines.add((min(angles[j][1],angles[j+1][1],angles[j+2][1]),max(angles[j][1],angles[j+1][1],angles[j+2][1])))
    return len(lines)

其中，$1e-9$ 是一个极小的数，用于判断两个浮点数是否相等。这是因为计算机在存储浮点数时，可能会存在误差。

参考资料

• 平面直角坐标系中的计算几何问题