为二叉树的每个节点计算具有较小值的祖先

在二叉树数据结构中，我们有时需要找出每个节点的具有较小值的祖先。这是一个重要的问题，因为它可以用于许多问题，例如最近公共祖先（LCA），或者在堆中找到一个节点的父节点等。

问题描述

给定一棵二叉树和其中的一个节点，求它的最小祖先节点，满足这个祖先的值小于该节点的值。

例如，对于下图的二叉树和节点 5，最小祖先节点为 2。

      8
     / \
    2   10
   / \
  1   5
      / \
     3   7

解决方法

我们可以用递归的方法解决这个问题，具体的方法是：

1. 如果当前节点的值小于或等于目标节点的值，那么答案一定在右子树中。我们可以递归地向右子树寻找最小祖先。
2. 如果当前节点的值大于目标节点的值，那么有两种情况：（1）当前节点是目标节点的祖先；（2）当前节点不是目标节点的祖先，我们需要递归地向左子树寻找最小祖先。

为了方便描述，我们定义一个函数 findMinimumAncestor(root, target)，其中 root 表示二叉树的根节点，target 表示要找出最小祖先的节点。这个函数返回找到的最小祖先节点。

下面是 Python 代码的实现：

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

def findMinimumAncestor(root: TreeNode, target: TreeNode) -> TreeNode:
    if not root:
        return None
    
    if root.val <= target.val:
        return findMinimumAncestor(root.right, target)
    else:
        left_lca = findMinimumAncestor(root.left, target)
        if left_lca:
            return left_lca
        else:
            return root

# 测试代码
root = TreeNode(8)
root.left = TreeNode(2)
root.right = TreeNode(10)
root.left.left = TreeNode(1)
root.left.right = TreeNode(5)
root.left.right.left = TreeNode(3)
root.left.right.right = TreeNode(7)
target = root.left.right
lca = findMinimumAncestor(root, target)
print(lca.val) # 输出 2

时间复杂度

这个方法的时间复杂度是 O(h)，其中 h 是二叉树的高度。在最坏的情况下，h 可以是 n，其中 n 是二叉树中节点的个数。但是在很多情况下，h 的值要小于 n，因此这个算法的时间复杂度是很不错的。

总结

找出每个节点具有较小值的祖先是一道重要的问题，这可以用于许多应用场景，例如在二叉堆中找到节点的父节点，或者在计算树上的聚合函数时，找到比某个节点更小值的祖先节点等。我们可以通过递归的方法解决这个问题，时间复杂度是 O(h)，其中 h 是树的高度，这是一种效率比较高的算法。