求 [1, N] 的排列，使得 (arr[i] != i+1) 和 arr[i] 和 (i+1) 之间的绝对差之和最小

问题描述

给定一个长度为N的排列，求一个新排列，使得该排列与原排列之间的绝对差之和最小。其中绝对差为每个数与该位置上应有的数的差的绝对值，满足新排列中的每个数与该位置上应有的数不同。

解题思路

动态规划

对于状态转移方程，可以分别对位置i和i+1进行考虑，分别计算将它们交换到其应有的位置i+1和i所需要的绝对差之和。那么对于i+1位置需要进行判断，判断其是否已经在其应有的位置上，如果已经在，那么就不需要进行交换了，直接取上一个状态的值即可，否则说明其在i或者i之前，那么就需要找到前面最近的可与其交换的位置，那么此时就需要进行一次遍历查找，时间复杂度为O(n)。因此，总时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度也为O(n^2)。

def min_diff_sum(nums):
    n = len(nums)
    min_diff = float("inf")
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(i + 1, n + 1):
            dp[i][j] = dp[i][j - 1] + abs(nums[j - 2] - j) - abs(nums[j - 1] - j)   # j-1位置已经在j上了

        for j in range(i + 1, n + 1):
            swap = nums[j - 1] == i
            for k in range(j + 1, n + 1):
                if swap:
                    dp[i][k] = dp[i][j - 1] + abs(nums[j - 2] - k) - abs(nums[j - 1] - i)
                elif k > i + 1 and nums[k - 2] == i:
                    dp[i][k] = dp[i][j - 1] + abs(nums[j - 2] - k) - abs(nums[j - 1] - i)
                else:
                    dp[i][k] = dp[i][j - 1] + abs(nums[j - 2] - k) - abs(nums[j - 1] - nums[k - 2])
            if j == n:
                min_diff = min(min_diff, dp[i][n])

    return min_diff

贪心算法

对于这道题，我们还可以使用贪心算法求解。首先我们可以看出，对于排列中任意两个相邻的元素，他们至少有一个是处于错误的位置上。我们对于排列进行遍历，对于当前位置的元素，我们将其与其应在的位置进行比较，如果相等，那么就不需要进行调换，如果不相等，那么就需要进行调换。因为如果一个数在错误的位置上了，我们就可以知道，它与两个限制因素之一的差距是到达最小化的。时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。

def min_diff_sum(nums):
    n = len(nums)
    res = 0

    for i in range(n):
        while nums[i] != i + 1:
            t = nums[nums[i] - 1]       # 引入临时变量避免交叉赋值
            nums[nums[i] - 1] = nums[i]
            nums[i] = t
            res += 1

    return res

总结

对于这道题，我们可以使用两种方法进行求解，一种是动态规划，一种是贪心算法。对于动态规划的方法，我们拿到的数组是一个随机的固定长度的数组，对于每一次的操作都会改变它的状态，时间复杂度和空间复杂度都比较高。而对于贪心算法，我们只需要遍历一遍数组，时间复杂度和空间复杂度都比较低，是一个更好的解决办法。