正弦半角公式

三角学是一个探索直角三角形边长和角度之间联系的数学领域。这是对直角三角形的边和角如何连接的研究。用于研究该数学领域的三角比是正弦、余弦、正切、余切、正割和余割。分别表示三角形和测量的术语“Trigonon”和“Metron”组合在一起形成三角学。因此，它通过使用基于这种关系的方程和恒等式来帮助计算直角三角形的未知尺寸。

正弦三角比

三角比定义为任意两个直角三角形边的比值。正弦比表示为对边长度除以斜边长度的比值。用缩写 sin 表示。

如果 θ 是直角三角形底边和斜边之间的夹角，那么，

sin θ = Perpendicular/Hypotenuse

正弦半角 (Sin θ /2) 公式

半角公式一般用三角函数中的θ/2表示，其中θ是角度。在这种情况下，半角是一个约数角。半角公式用于计算标准角（如 30°、45° 和 60°）的三角比的精确值。使用这些常规角度的比率值，我们可以获得困难角度的比率值，例如 22.5°（45° 的一半）或 15°（30° 的一半）。正弦半角用缩写 sin θ/2 表示。它是一个函数，返回半角的 sin函数值。函数sin θ 的周期为 2，而 sin θ/2 的周期为 4。

sin θ/2 = ±√((1 – cos θ) / 2)

推导

The formula for sine half angle is derived by using the double angle formulas for sine and cosine.

We know, cos 2θ = 1 – 2 sin² θ  …… (1)

Substitute θ as θ/2 in the equation (1).

=> cos θ = 1 – 2 sin² (θ/2)

Solve the equation for sin θ/2.

=> 2 sin² (θ/2) = 1 – cos θ

=> sin² (θ/2) = (1 – cos θ)/2

=> sin θ/2 = ±√((1 – cos θ) / 2)

This derives the formula for sine half angle ratio.

示例问题

问题 1. 如果 cos θ = 3/5，使用半角公式求 sin θ/2 的值。

解决方案：

We have, cos θ = 3/5.

Using the formula we get,

sin θ/2 = √((1 – cos θ) / 2)

= √((1 – 3/5) / 2)

= √((2/5) / 2)

= 1/√5

问题 2. 如果 cos θ = 12/13，使用半角公式求 sin θ/2 的值。

解决方案：

We have, cos θ = 12/13.

Using the formula we get,

sin θ/2 = √((1 – cos θ) / 2)

= √((1 – 12/13) / 2)

= √((1/13) / 2)

= √(2/5)

问题 3. 如果 sin θ = 8/17，使用半角公式求 sin θ/2 的值。

解决方案：

We have, sin θ = 8/17.

Find the value of cos θ using the formula sin² θ + cos² θ = 1.

cos θ = √(1 – (64/289))

= √(225/289)

= 15/17

Using the formula we get,

sin θ/2 = √((1 – cos θ) / 2)

= √((1 – 15/17) / 2)

= √((2/17) / 2)

= 1/√17

问题 4. 如果 sec θ = 5/4，使用半角公式求 sin θ/2 的值。

解决方案：

We have, sec θ = 5/4.

Using cos θ = 1/sec θ, we get cos θ = 4/5.

Using the formula we get,

sin θ/2 = √((1 – cos θ) / 2)

= √((1 – 4/5) / 2)

= √((1/5) / 2)

= 1/√10

问题 5. 如果 tan θ = 12/5，使用半角公式求 sin θ/2 的值。

解决方案：

We have, tan θ = 12/5.

Clearly, cos θ = 5/√(12² + 5²) = 5/13

Using the formula we get,

sin θ/2 = √((1 – cos θ) / 2)

= √((1 – 5/13) / 2)

= √((8/13) / 2)

= √(4/13)

= 2/√13

问题 6. 如果 cot θ = 8/15，使用半角公式求 sin θ/2 的值。

解决方案：

We have, cot θ = 8/15.

Clearly, cos θ = 8/√(8² + 15²) = 8/17

Using the formula we get,

sin θ/2 = √((1 – cos θ) / 2)

= √((1 – 8/17) / 2)

= √((9/17) / 2)

= 3(√(2/17))

问题 7. 使用半角公式求 sin 15° 的值。

解决方案：

We have to find the value of sin 15°.

Let us take θ/2 = 15°

=> θ = 30°

Using the half angle formula we have,

sin θ/2 = √((1 – cos θ) / 2)

= √((1 – cos 30°) / 2)

= √((1 – (√3/2)) / 2)

= (2 – √3)/4