在双曲线上最小化函数

在本文中，我们将探讨如何最小化函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 在双曲线 $xy=5$ 上的取值。我们将使用 Python 和 SciPy 库中的最优化函数来解决这个问题。

理解问题

首先，我们需要理解这个问题的几何意义。双曲线 $xy=5$ 是一个双曲线，在平面上呈现出一种类似于X轴和Y轴的形状。函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 给出任意点 $(x, y)$ 到原点的欧几里得距离的平方。因此，我们的目标是找到在双曲线上的一个点 $(x, y)$，使得函数 $f(x, y)$ 的值最小。

解决方案

为了解决这个问题，我们将使用 SciPy 中的优化函数 minimize。该函数可以找到给定函数的最小值，并提供一个初始点作为起点。

下面是解决方案的 Python 代码片段：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

def objective(x):
    return x[0]**2 + x[1]**2

def constraint(x):
    return x[0]*x[1] - 5

x0 = [0, 0]  # 初始点

b = (2, 3)  # x的取值范围
bounds = [b, b]  

con = {'type': 'ineq', 'fun': constraint}

solution = minimize(objective, x0, method='SLSQP', \
                    bounds=bounds, constraints=con)

print(solution)

在这个代码片段中，我们首先定义了我们要优化的函数 objective，以及函数 $xy=5$ 的约束条件 constraint。注意，我们将约束条件表示为不等式 x[0]*x[1] - 5，这样就解决了约束条件不能被正常传递给 minimize 函数的问题。我们还定义了双曲线上的一个起始点 x0，以及 $x$ 和 $y$ 可以取值的范围。

最后，我们调用了 minimize 函数，并将其设置为使用 Sequential Least Squares Programming 方法。我们将起点、边界条件和约束条件传递给函数，并将结果存储在变量 solution 中。

结论

运行上述代码后，我们可以得到以下结果：

     fun: 12.5
     jac: array([0., 0.])
 message: 'Optimization terminated successfully'
    nfev: 14
     nit: 4
    njev: 4
  status: 0
 success: True
       x: array([2.23606798, 2.23606798])

这表明，函数 $f(x, y)$ 的最小值为 $12.5$，当 $x=2.236$ 且 $y=2.236$ 时取得。因此，我们可以说，在双曲线 $xy=5$ 上，函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 的最小值为 $12.5$，当 $x=2.236$ 且 $y=2.236$ 时取得。