使用正指数化简并写出 (x2 – y2)(x-2 + y-2)

使用正指数简化并写出 (x ² – y ² )(x ^-2 + y ^-2 )

代数是数学的一个分支，它处理各种符号的研究，这些符号表示这样的数量，这些数量没有恒定的值或与之相关的数量，相反，它们往往会随着时间的推移而相对于其他一些因素而变化或变化。这些符号在代数研究中被视为变量，附加在它们上的量称为系数。它们可以通过各种形状甚至英文字母来描绘。换句话说，代数考虑通过字母或符号来表示数字，而不强调描述它们的实际值。

代数表达式

代数表达式是使用数学中的变量和常数以及各种算术运算（例如加法，减法，乘法，除法，指数运算，开方，例如平方根，立方根，四方根等）形成的语句向前。

例子：

• x + 1 is an algebraic expression with x as the variable and addition as the operation.
• x² − 1 is an algebraic expression with x as the variable and subtraction and exponent as the operation.
• 2x² − 3xy + 5 is an algebraic expression with x and y as the variables with addition, exponent, subtraction and multiplication as the operations.

基本术语

• 变量：变量是代数表达式中可以取任何值的术语，其实际值不存在。
• 系数：它是一个常量且定义明确，始终与变量一起使用。
• 运算符：表示任何算术运算，如加法、减法、乘法、除法、指数运算、开方，如平方根、立方根、四方根等。
• 常数：这样一个既独立于系数又独立于变量并且本身定义明确的项称为常数。
• 指数：一个数与自身相乘的次数是指它的指数。

指数规则

规则 1：如果两个或多个碱基具有相同的幂并且在相乘中，则它们的幂相加，保持碱基不变，即 a ^m × a ⁿ = a ^m+n 。

例子：

• 2³ × 2⁵ = 2³⁺⁵ = 2⁸
• 4^-2 × 4³ × 4¹⁰⁰ = 4^-2+3+100 = 4¹⁰¹

规则 2：如果两个或多个碱基具有相同的功率并且在除法中，则它们的功率相减，保持碱基不变。需要注意的是，分子的幂要减去分母的幂，即a ^m ÷ a ⁿ = a ^mn 。

例子：

• $\frac{2^4}{2^3}$ = 2^4-3 = 2¹ = 2
• $\frac{10^4}{10^8}$ = 10^4-8 = 10^-4 = $\frac{1}{10^4}$

规则 3：任何乘以零次方等于 1。

例子：

• 2⁰ = 1
• 1000000⁰ = 1
• 859⁰ = 1

规则 4：当一个指数的幂已经升到一个幂时，需要将这些幂相乘，即 (a ^m ) ⁿ = a ^mn 。

例子：

• (2³)⁴ = (2)^3×4 = 2¹²
• [(-3)^-9]² = (-3)^-9×2 = (-3)^-18

规则 5：如果两个不同的碱基具有相同的幂，则将碱基相乘并将乘积提高到两个碱基在相乘之前的幂，即 a ^m × b ^m = (a × b) ^m 。

例子：

• 4³ × 10³ = (4 × 10)³ = 40³
• 2¹²³ × 56¹²³ = (2 × 56)¹²³ = 112¹²³

规则6：如果给定一个分数指数，那么分子变成底的幂，分母作为整个表达式的根，即a ^m/n = $\sqrt[n]{a^m}$

例子：

• 2^1/2 = $\sqrt{2}$
• 2^1/3 = $\sqrt[3]{2}$
• 2^4/5 = $\sqrt[5]{2^4}$

规则 7：如果幂是负数，倒数基数使其变为正数，即 a ^-m = $\frac{1}{a^m}$ .

例子：

• 2^-9 = $\frac{1}{2^9}$
• 100^-8 = $\frac{1}{100^8}$

使用正指数简化和写 (x² – y²)(x^-2 + y^-2)

x²(x^-2) – y²(x^-2) + x²(y^-2) -y²(y^-2)

Using the properties a^m . aⁿ = a^m+n and a^-x = $\frac{1}{a^x}$, we have

= x^2+(-2) – $\frac{y^2}{x^2} + \frac{x^2}{y^2}$ – y^2+(-2)

= x⁰ + $\frac{x^2}{y^2} - \frac{y^2}{x^2}$ – y⁰

Anything raised to the power 0 is always 1, so

$\frac{x^2}{y^2}$ – $\frac{y^2}{x^2}$ + 1 -1

= $\frac{x^2}{y^2} - \frac{y^2}{x^2}$

类似问题

问题 1. 化简： (x ^-7 y ¹⁰ ) (x ^-8 y ³ )。

解决方案：

= (x^-7 x^-8) (y¹⁰ y³)

Using the property a^m . aⁿ = a^m+n

= x^-7-8 y¹⁰⁺³

= x^-15 y¹³

Using a^-m = 1/ a^m, we have:

= y¹³/ x¹⁵

问题 2. 简化： $\frac{3x^2y^3}{5x^3y^2}$ .

解决方案：

= 3/5 (x²/x³) (y³/y²)

= 3/5 (x^2-3) (y^3-2)

= 3/5 (x^-1) (y¹)

Using the property a^-m = 1/ a^m, we have:

= 3y/5x

问题 3. 化简并写为正指数： (64x ^-6 y ⁶ ) ^5/6 。

解决方案：

Using the property (abc)^m = a^m b^m c^m, we have:

(64x^-6 y⁶)^5/6 = 64^5/6 x^-30/6 y^30/6

= 25 x^-6 y⁵

Using the property a^-m = 1/a^m, we have:

Hence, (64x^-6 y⁶)^5/6 = 32y⁵/ x⁶

问题 4. 化简并写成正指数： $\frac{2x^{-10}}{4y^0}$ .

解决方案：

Since anything raised to the power zero is always 1.

Thus, 4y⁰ = 1

Hence the expression becomes 2x-10/ 1.

= 2x^-10

Since a^-m = 1/a^m,

Hence, $\frac{2x^{-10}}{4y^0}$ = 2/ x¹⁰.

问题 5. 简化： $[\frac{(2a^3)}{(3a^5)^3}]^3$ .

解决方案：

Using the property (a^m)ⁿ = a^mn, we have:

[(2a³)/ (3a⁵ × ³]³

= [(2a³)/ (3a¹⁵]³

Using the property a^m/aⁿ = a^m-n, we have:

= 2/3[a^3-15]³

= [2[a^-12]³]/3

= 2a^-36/3

Hence, [(2a³)/ (3a⁵)³]³ = $\frac{2}{3a^{36}}$.