应力-应变曲线

固体被假定为刚体，但在现实生活中，没有任何物体是完全刚体的。当对它们施加力时，所有的固体都会改变它们的形状。例如，每当弹簧被压缩时。弹簧改变了它的大小，但一旦移除力就会恢复到原来的位置。固体的这种性质称为弹性，在此过程中引起的变形称为弹性变形。一些材料不表现出弹性特性。例如，如果对一滩泥浆施加力，它只会改变其形状而没有阻力。这些物体称为塑料，其性质称为可塑性。让我们详细研究一下弹性体和弹性。

应力和应变

当力施加在本质上具有弹性的物体上时，它们会产生暂时的变形，这取决于材料的性质。这种变形通常是不可见的，但它会产生一种恢复力，使身体恢复到自然状态。恢复力的大小等于施加在身体上的力。应力被定义为每单位面积的恢复力。

令 F 为施加在身体上的力的大小，A 为面积，

压力 = $\frac{F}{A}$

SI 应力单位由 N/m ²或 Pascal(Pa) 给出。应力的量纲公式为[ML ^-1 T ^-2 ]。

压力可以分为三类。考虑一个例子来理解力在这些应力中的作用：

1. 拉伸/压缩应力：在这种应力下，力垂直于圆柱体的横截面。在这种情况下，每单位面积的恢复力称为拉伸应力。以防万一，这些力会导致气缸压缩。每单位的恢复力称为压缩应力。
2. 剪切应力：当力平行于圆柱体的横截面积施加时。单位面积的恢复力发展起来。在这种情况下，它被称为剪切应力。
3. 液压应力：当力作用于整个身体时。在这种情况下，每单位面积产生的恢复力称为液压应力。

拉紧

每当施加力时，它们会在材料中产生应力。这些力量带来了变化 对象的维度。应变是尺寸变化与原始尺寸的比值。例如，在前面的圆柱体案例中，不同种类的应力会导致圆柱体尺寸发生不同的变化。在压缩或拉伸应力的情况下，圆柱体的长度会发生变化。让$\Delta L$是圆柱体长度的变化，L 是原始长度。这称为纵向应变。它是由，

纵向应变= $\frac{\Delta L}{L}$

在剪切应力的情况下，

剪切应变$= \frac{x}{L} = tan(\theta)$

这里， $\theta$是圆柱体从其平均位置的角位移。

当施加液压应力时，身体会改变其体积。在这种情况下，使用体积应变。

体积应变$= \frac{\Delta V}{V}$

胡克定律

应力和应变根据力施加到身体的方式而采取不同的形式。在变形较小的情况下，适用胡克定律。胡克定律基于经验证据，几乎适用于所有材料。但是，该定律仅适用于小位移。

According to Hooke’s law, 

“For small deformations, the stress and the strain produced in the body are directly proportional to each other.”

Stress ∝ Strain 

⇒ Stress = k × Strain 

Here, k is the proportionality constant and is called the modulus of elasticity.

应力-应变曲线

对于大多数材料，应力和应变之间的关系可以绘制在图表上。在这个实验中，力逐渐增加，并产生应变。应力和应变的值绘制在图表上。该图称为应力-应变曲线。这些曲线因材料而异，非常有助于大致了解材料在不同负载条件下的性能。

从图中可以看出，从 O 到 A 的图几乎是一条直线。这意味着该地区遵守比例定律或胡克定律。 A点称为比例限制。在这一点之后，该图不遵守胡克定律。在 A 和 B 之间的区域，没有遵守规律，但身体在变形后仍然恢复了原来的形状。 B点称为屈服极限，相应的应力称为屈服强度。在此之后，如果压力增加，身体就不会回到原来的位置。这种变形称为塑性变形。

示例问题

问题1：一根1m的钢棒在施加拉应力时增加了10cm的长度。求纵向应变。

回答：

Longitudinal strain is given by the ratio of change in length with the total original length. 

Let the original length be L, and the change in length be $\Delta L$

Longitudinal Strain = $\frac{\Delta L}{L}$

Given : $\Delta L = 0.1 \text{ m}$ and L = 1 m 

Plugging the values into the equation, 

Longitudinal Strain = $\frac{\Delta L}{L}$

⇒ Longitudinal Strain = $\frac{0.1}{1}$

⇒ Longitudinal Strain = 0.1 

问题2：半径为1.5m的钢球在施加液压应力时尺寸收缩到1.4m的长度。求体积应变。

回答：

Volumetric strain is given by, 

$\text{Volumetric Strain }= \frac{\Delta V}{V}$

The volume of a sphere is given by, 

V = $\frac{4}{3}\pi r^3$

Initial radius: r_i = 1.5m 

Final radius: r_f = 1.4m 

Change in Volume = $\frac{4}{3}\pi(r_i^3 - r_f^3)$

                               =$\frac{4}{3}\pi((1.5)^3 - (1.4)^3)$

Original Volume = $\frac{4}{3}\pi r^3$

                            = $\frac{4}{3}\pi (1.5)^3$

Volumetric Strain = $\frac{\text{Change in Volume}}{\text{Original Volume}}$

                              = $\frac{\frac{4}{3}\pi(r_f^3 - r_i^3)}{\frac{4}{3}\pi r_i^3}$

                              = $\frac{\frac{4}{3}\pi((1.5)^3 - (1.4)^3)}{\frac{4}{3}\pi (1.5)^3}$

                              = $\frac{(1.5)^3 - (1.4)^3}{(1.5)^3}$

                              = $\frac{0.631}{3.375}$

                              = 0.18

问题 3：当施加水力应力时，边长为 1 m 的立方体尺寸收缩到长度为 0.5 m。求体积应变。

回答：

Volumetric strain is given by, 

$\text{Volumetric Strain }= \frac{\Delta V}{V}$

The volume of a sphere is given by, A

V = a³

Initial radius: a_i = 1 m 

Final radius: a_f = 0.5m 

Change in Volume = $a_f^3 - a_i^3$

                               =$1^3 - (0.5)^3$

                               = 0.875

Original Volume = a³

                            = 1

Volumetric Strain = $\frac{\text{Change in Volume}}{\text{Original Volume}}$

                              = $\frac{a_f^3 - a_i^3}{a_i^3}$

                              = $\frac{0.875}{1}$

                              =0.875

问题4：一个边长为1.5m的立方体，在施加100N的压缩力时，尺寸收缩到长度为0.5m。求压应力。

回答：

Compressive stress is given by, 

Stress = $\frac{F}{A}$

In this case, F = 100N and A = side^2. 

The side is given as 1.5 m 

A = side²

⇒A = 1.5²

⇒A = 2.25

Stress = $\frac{F}{A}$

⇒ Stress = $\frac{100}{2.25}$

⇒ Stress = 44.44 N/m²

问题 5：一个边长为 2 m 的立方体在施加 500N 的压缩力时，其尺寸收缩到长度为 0.5 m。求压应力。

回答：

Compressive stress is given by, 

Stress = $\frac{F}{A}$

In this case, F = 500N and A = side^2. 

The side is given as 2 m 

A = side² 

⇒A = 2²

⇒A = 4

Stress = $\frac{F}{A}$

⇒ Stress = $\frac{500}{4}$

⇒ Stress = 125 N/m²

问题6：当水平施加力时，圆柱杆的轴线移动30°。圆柱体长度为0.5m。求圆柱体从其平均位置的剪切应变和位移。

回答：

The shearing strain is given by, 

$\text{Shearing Strain }= \frac{x}{L} = tan(\theta)$

Here,$\theta = 30^\degree$ and L = 0.5m 

Shearing Strain = $tan(\theta)$

                          = tan(30°)

                          = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Let the displacement be x, 

$\text{Shearing Strain }= \frac{x}{L} = \frac{1}{\sqrt{3} \\} = x = \frac{L}{\sqrt{3}} \\ = x = \frac{0.5}{\sqrt{3}} \\ = x= 0.289$