什么是复数？

复数是可以表示为实数和虚数之和的术语。这些是可以写成 a + ib 形式的数字，其中 a 和 b 都是实数。它用 z 表示。这里值“a”称为实部，用 Re(z) 表示，“b”称为虚部 Im(z)，以复数形式表示。它也被称为虚数。在复数形式中，a + bi 'i' 是一个称为“iota”的虚数。 i 的值为 (√-1) 或者我们可以写成 i ² = -1。例如，

9 + 16i 是复数，其中 9 是实数 (Re)，16i 是虚数 (Im)。

10 + 20i 是复数，其中 10 是实数 (Re)，20i 是虚数 (Im)

复数的代数运算

实数和虚数的组合称为复数。复数的代数运算有四种，

复数的加法

在这个操作中，我们知道复数的形式是 z = p + iq，其中 a 和 b 是实数。现在，考虑两个复数 z ₁ = p ₁ + iq ₁和 z ₂ = p ₂ + iq ₂ 。因此，复数 z ₁和 z ₂相加。

z₁ + z₂ = (p₁ + p₂) + i(q₁ + q₂)

Some more identities are:

z₁ + z₂ = z

z₁ + z₂ = z₂ + z₁

(z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)

z + (-z) = 0

(p + iq) + (0 + i0) = p + iq

得到的复数实部是每个复数的实部之和。得到的复数虚部等于每个复数的虚部之和。

复数减法

在复数 z ₁ = p ₁ + iq ₁和 z ₂ = p ₂ + iq ₂的这个运算中，因此 z ₁和 z ₂的差即 z ₁ -z ₂定义为：

z₁ – z₂ = (p₁ – p₂) + i(q₁ – q₂)

复数的乘法

在这个两个复数的乘法运算中。我们知道 (x + y)(z + w)。

= xz + xw + zy + zw

类似地，复数 z ₁ = p ₁ + iq ₁和 z ₂ = p ₂ + iq ₂

要找到 z ₁ z ₂ ：

z ₁ z ₂ = (p ₁ + iq ₁ )(p ₂ + iq ₂ )

z ₁ z ₂ = p ₁ p ₂ + p ₁ q ₂ i + q ₁ p2i + q ₁ q ₂ i ²

我们知道，i ² = -1，

所以，

z₁ z₂ = (p₁ p₂ – q₁ q₂) + i(p₁ q₂ + p₂ q₁)

Some identities are:

z₁ × z₂ = z

z₁.z₂ = z₂.z₁

z₁(z₂.z₃) = (z₁.z₂)z₃

z₁(z₂ + z₃) = z₁.z₂ + z₁.z₃

复数除法

在这个复数 z1 = p ₁ + iq ₁和 z ₂ = p ₂ + iq ₂的运算中，因此，要找到 z ₁ /z ₂ ，我们必须将分子和分母与 z ₂的共轭相乘。

复数的除法：

令 z ₁ = p ₁ + iq ₁和 z ₂ = p ₂ + iq ₂ ，

z ₁ /z ₂ = (p ₁ + iq ₁ )/(p ₂ + iq ₂ )

因此，(p ₁ + iq ₁ )/(p ₂ + iq ₂ ) = [(p ₁ + iq ₁ )(p ₂ – iq ₂ )] / [(p ₂ + iq ₂ )(p ₂ – iq ₂ ) ]

(p ₁ + iq ₁ )/(p ₂ + iq ₂ ) = [(p ₁ p ₂ ) – (p ₁ q ₂ i) + (p ₂ q ₁ i) + q ₁ q ₂ )] / [(p ₂ ² + q ₂ ² )]

(p ₁ + iq ₁ )/(p ₂ + iq ₂ ) = [(p ₁ p ₂ ) + (q ₁ q ₂ ) + i(p ₂ q ₁ – p ₁ q ₂ )] / (p ₂ ² + q ₂ ² )

z₁/z₂ = (p₁p₂) + (q₁q₂) / (p₂² + q₂²) + i(p₂q₁ – p₁q₂) / (p₂² + q₂²)

虚数规则

i = √-1

i² = -1

i³ = -i

i⁴ = 1

i⁴ⁿ = 1

i^4n-1 = -1

示例问题

问题 1：执行指定的操作并以标准格式写出答案：4+5i/4-5i

解决方案：

Given : 2+5i/2-5i

to simplifying multiply the numerator and denominator by the conjugate of denominator

= (2+5i/2-5i) × (2+5i)(2+5i)

= {(2+5i)²}/ {(2)²– (5i)²}

= {4 + (5i)² + 2(2)(5i)} / {4 – 25(i)²}

= {4 +25(i)² + 20i} / {4 +25}

= {4 – 25 + 20i} / 29

= (-21 + 20i) / 29

= -21/29 + 20/29i 

问题2：化简(5 + 2i) – (9 + 7i)，求虚数的平方？

解决方案：

Given : (5 + 2i) – (9 + 7i)

                     = 5+2i -9 -7i

                     = (5 – 9) + (2 – 7)i

                     = (-4 – 5i)

Now imaginary number = -5i

(-5i)² = -5i x -5i

       = 25i²

       = 25(-1)

       = – 25

问题 3：求复数 9 + 7i 的加法逆？

解决方案：

It is defined as the value which on adding with the original number results in  zero value. An additive inverse of a complex number is the value we add to a number to yield zero.  

So here the additive inverse of complex number 9 + 7i is -(9 + 7i)

= -9 – 7i

问题 4：用标准形式表示 (5 -.3i)/(9 + 2i)？

解决方案：

Given: (5 – 3i)/(9 + 2i)

Multiplying with the conjugate of denominators,

= {(5 – 3i)/(9 + 2i) × (9 – 2i)/(9 – 2i)}

= {(5 – 3i)(9 – 2i)} / {(9)² – (2i)²}

= {45- 10i – 27i + 6i²} / (81- 4i²)

= {45 – 37i + 6(-1)} / (81+4)

= ( 39 – 37i) / 85

= 39/85 – 37/85i

问题 5：求 2 – 8i 的乘法逆元？

解决方案：

The multiplicative inverse of a complex number z is simply 1/z.

It is denoted as : 1 / z  or  z-1 (Inverse of z)

       here z = 2 – 8i

Therefore z = 1/z

                    = 1 / (2 – 8i)

Now rationalizing

                 = 1/(2 – 8i) x (2 + 8i)/(2 +8i)

                 = (2 + 8i) / {(2)² – 8²i²}

                 = (2 + 8i) / { 4 + 64}

                 = (2 + 8i)/ (68)

                 = 2/68 + 8i/68

                 = 1/34 + 2/17 i 

问题 6：简化：(9-4i)(7-7i)。

解决方案：

Given:  (9-4i)(7-7i)

= 63 – 63i -28i +28i²

= 63 – 63i – 28i + 28(-1)

= 63- 91i – 28

= 35 – 91i