门 | GATE-CS-2016（套装2）|问题 3

本题为计算机科学门类的GATE-CS-2016（套装2）中的问题3。该题考察计算理论及离散数学领域的内容，主要包括自动机理论、正则表达式、有限状态机等方面。

题目描述

在本题中，给定一个字符串集合，要求设计一个基于正则表达式构造的门电路，当电路输入一个字符串时，当且仅当该字符串属于字符串集合时，输出1，否则输出0。

解题思路

题目中要求使用正则表达式来创建一个门电路。因此需要首先理解正则表达式的相关概念，例如确定性有限状态自动机（DFA）和正则文法。

在本题中，应该使用正则文法来构造一个DFA。具体构造步骤如下：

1. 将每个输入字符串的字符重写为一个状态，同时添加一个特殊的“开始”状态S和一个特殊的“结束”状态E。
2. 对于输入字符串集合中的每个字符串，将该字符串转换为正则表达式形式。
3. 构建一个正则文法，其中只有一个开始符号S和一个终止符号E。
4. 使用正则表达式算法将每个正则表达式转换为一个DFA。
5. 使用这个DFA来代替该正则表达式在上述正则文法中的产生式。

最终的正则文法可以用来生成一个DFA，该DFA实现了字符串集合中所有字符串的验证。

代码实现

本题的代码实现可以使用C++程序语言，使用现有的DFA构造算法实现正则文法到DFA的转换。代码片段如下所示：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
  // 输入字符串集合
  vector<string> strs = {"abc", "def", "ghi"};
  // 提取所有字符并去重
  set<char> alphaSet;
  for (auto s : strs) {
    for (char c : s) {
      alphaSet.insert(c);
    }
  }
  // 构造字符到状态号的映射
  map<char, int> alphaMap;
  int stateNum = 0;
  for (char c : alphaSet) {
    alphaMap[c] = stateNum++;
  }
  // 添加"开始"和"结束"状态
  stateNum += 2;
  int startState = stateNum - 2, endState = stateNum - 1;
  // 构造正则文法
  vector<vector<vector<int>>> productions(alphaSet.size());
  for (auto s : strs) {
    int prevState = startState;
    for (char c : s) {
      int nextState = alphaMap[c];
      productions[nextState].push_back({prevState, nextState + 1});
      prevState = nextState + 1;
    }
    productions[prevState].push_back({prevState, endState});
  }
  // 使用正则表达式算法构造DFA
  ...
  return 0;
}

以上代码实现了按照上述思路构造正则文法的前三步（提取字符、构造映射、构造基本文法）。在使用正则表达式算法构造DFA的过程中，可以使用各种DFA构造算法，例如子集构造算法和Hopcroft-Karp算法等。

总结

本题要求使用正则表达式构造一个门电路，该电路可以根据字符串集合进行验证。可以使用正则文法和DFA构造算法来实现，需要深入理解正则表达式、自动机理论和离散数学相关内容。