门| GATE-CS-2016（套装1）|问题 5

介绍

本题是关于图的遍历和连通性的问题，能够深入理解深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）的实现方法。

题目要求实现一个函数 find_shortest_distance(n: int, edges: List[Tuple[int, int]], u: int, v: int) -> int，其中 n 是节点数量，edges 是一个列表，存储所有边的起点和终点坐标，u 和 v 是给定的两个节点编号，函数返回 u 到 v 的最短距离。

解题思路

本题可以采用 BFS 来实现，从起点 u 出发，遍历与它相连通的所有节点，找到与终点 v 相连通的最短路径。

BFS 遍历过程中，每个节点都要记录它距离起点的步数，也就是到达该节点的路径长度。将起点的步数初始化为 0，其他节点的步数默认为无限大，遍历相邻节点时，如果发现新相邻节点的步数比之前记录的小，那么就更新该相邻节点的步数，并以该节点为起点继续遍历。

在遍历过程中，还需要记录已访问的节点，避免重复访问。

解题方法

1. 构建一个空的邻接表，使用 Python 的字典类型作为邻接表。邻接表的结构如下：

adj_list = {0: [1, 2], 1: [0, 2], 2: [0, 1]}

其中的键值对表示节点编号和相邻节点的列表。

2. 构造一个节点步数的列表，使用 Python 的列表类型记录每个节点的步数。步数列表的结构如下：

dist = [float('inf')] * n

其中的列表长度为节点数 n，所有节点的步数默认初始化为无限大。

3. 采用 BFS 遍历方式搜索最短路径。实现代码如下：

def bfs(start, end):
    visited.append(start)
    dist[start] = 0
    q = deque([])
    q.append(start)
    while q:
        curr = q.popleft()
        for next in adj_list[curr]:
            if next not in visited:
                visited.append(next)
                dist[next] = dist[curr] + 1
                q.append(next)
                if next == end:
                    return dist[next]
    return -1

其中 start 为起点编号，end 为终点编号，visited 列表存储已经访问的节点，dist 列表存储起点到每个节点的步数。

4. 最后返回搜索结果，如果没有找到符合条件的路径，则返回 -1。函数实现代码如下：

from collections import deque
from typing import List, Tuple

def find_shortest_distance(n: int, edges: List[Tuple[int, int]], u: int, v: int) -> int:
    # build adjacency list
    adj_list = {}
    for i in range(n):
        adj_list[i] = []
    for edge in edges:
        adj_list[edge[0]].append(edge[1])
        adj_list[edge[1]].append(edge[0])

    # initialize variables
    visited = []
    dist = [float('inf')] * n
    
    # search for shortest path using BFS
    return bfs(u, v)

复杂度分析

本算法的时间复杂度为 O(n+m)，其中 n 为节点数，m 为边数。在最坏情况下，需要遍历所有节点和边才能找到最短路径，因此时间复杂度最大为 O(n+m)。空间复杂度为 O(n+m)，需要存储邻接表、节点步数、visited 列表和队列数据结构。