使用 Tree Rerooting 技术从每个节点到所有其他节点的路径长度总和

在树数据结构中，从一个节点到另一个节点的路径可以被视为一个边的集合。Tree Rerooting 技术是一种计算树中所有节点与其他节点路径长度总和的方法。它可以帮助程序员快速计算每个节点到其他节点的路径长度总和，同时保持时间复杂度较低。下面我们将介绍如何使用 Tree Rerooting 技术实现此功能。

Tree Rerooting 技术

Tree Rerooting 技术是一种基于动态规划的方法，通过不断割掉一颗子树，并将其当作一个节点，来计算每个节点到其他节点的路径长度总和。具体实现过程如下：

1. 选择一个根节点。
2. 对于每个节点，计算它到各个子节点的路径长度之和，并将这些值记录到数组 $s$ 中。
3. 对于每个节点，计算它到其他所有节点的路径长度之和。这可以通过 $s$ 数组来计算。对于每个节点 $v$，它到其他节点 $u$ 的路径长度之和为 $s_v - s_u$。
4. 将根节点重新选择为其他节点，并重复步骤 2~3。

重复以上过程，直到所有节点都成为根节点为止，即可计算出每个节点到其他节点的路径长度总和。

实现

下面是使用 Python 实现 Tree Rerooting 技术的代码。

class TreeNode:
    def __init__(self, value):
        self.value = value
        self.children = []

    def add_child(self, child):
        self.children.append(child)

def calculate_length(root):
    # 计算子树大小和子树到根的路径长度
    def dfs(node):
        size[node] = 1
        for child in node.children:
            dfs(child)
            size[node] += size[child]
            length[node] += length[child] + size[child]

    # 计算每个节点到其他节点的路径长度之和
    def reroot(node):
        ans[node] = length[node] + sum(ans[child] - length[child] for child in node.children)
        for child in node.children:
            reroot(child)

    n = len(root)
    size = [0] * n
    length = [0] * n
    ans = [0] * n

    dfs(root)
    reroot(root)

    return ans

在上面的代码中，我们定义了一个 TreeNode 类来表示一棵树。其中 value 表示节点的值，children 表示节点的子节点列表。我们使用深度优先搜索（DFS）来计算每个节点到根的路径长度和子树大小，在这个过程中，数组 size 存储每个节点的子树大小，数组 length 存储每个节点到根的路径长度。

接下来，我们使用 Tree Rerooting 技术，通过枚举每个节点作为根节点，计算每个节点到其他节点的路径长度之和，并存储在数组 ans 中。具体实现过程可以参考代码中的 reroot 函数。

最后，我们返回 ans 数组即可得到每个节点到其他节点的路径长度总和。

总结

使用 Tree Rerooting 技术从每个节点到所有其他节点的路径长度总和是一个常用的计算树结构特征的方法，它可以被广泛应用于树问题的解决。我们希望这篇文章能够帮助程序员更好地理解 Tree Rerooting 技术，并在实际应用中取得更好的效果。