用平方根化简复分数

简介

复分数是由实数和虚数构成的数，可以表示为 $a+bi$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2=-1$。

对于给定的复分数，为了方便表示，有时候需要将其化简为 $a+b\sqrt{c}$ 的形式，其中 $c$ 为正整数，且 $a$、$b$、$c$ 均为整数。

本文将介绍如何用平方根化简复分数。

算法

假设给定的复分数为 $z=a+bi$，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数。

为了将其化简为 $a+b\sqrt{c}$ 的形式，需要选择一个正整数 $c$，使得 $\sqrt{c}$ 是无理数，并且满足以下条件：

• $\sqrt{c}$ 是 $b$ 的一个因数。
• $a+b\sqrt{c}$ 是一个无理数，即 $a$ 和 $b\sqrt{c}$ 不能同时为有理数。

为了判断一个数是否为有理数，可以使用如下方法：

• 如果这个数可以表示为有理数的形式，那么它是有理数。
• 如果这个数不能表示为有理数的形式，那么它是无理数。

如果找到了符合条件的 $c$，那么化简后的复分数为 $a+b\sqrt{c}$。否则，说明该复分数不能被化简为 $a+b\sqrt{c}$ 的形式。

代码

以下是 Python 代码，用于实现上述算法：

def simplify(z):
    """
    将复分数 z 化简为 a+b√c 的形式，并返回 a、b、c。
    如果无法化简，c 为 None。
    """
    a = z.real
    b = z.imag

    # 从最大的因数依次往下试，直到找到符合条件的因数
    for c in range(abs(b), 0, -1):
        if b % c == 0:  # c 是 b 的因数
            x = (a**2 - b**2/c)/c  # 计算 a^2 - b^2/c
            if x < 0 or round(x) != x:  # 如果 a^2 - b^2/c 是负数，或者不是整数，说明无法化简
                continue
            return int(a), int(b/c), int(x)

    return int(a), int(b), None  # 无法化简

示例

以下是使用上述代码，将复分数 $(1+2i)/3$ 化简为 $a+b\sqrt{c}$ 的形式的示例：

>>> z = (1+2j)/3
>>> a, b, c = simplify(z)
>>> if c is None:
...     print("无法化简")
... else:
...     print(f"{a}+{b}√{c}")
...
-1+1√2

因此，$(1+2i)/3$ 可以化简为 $-1+\sqrt{2}$ 的形式。