化简 $(3 + i)^2 + (1 - i)^4$

在这道题目中，我们需要化简一个复数的表达式。具体地，我们需要计算 $(3 + i)^2 + (1 - i)^4$ 的值。

复数的乘法公式

在进行化简之前，先回顾一下复数的乘法公式。设 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$ 为两个复数，则它们的积为：

$z_1 \times z_2 = (a + bi)\times(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

计算 $(3 + i)^2$

现在，我们来计算 $(3 + i)^2$ 的值。按照复数乘法公式展开，我们有：

$(3 + i)^2 = (3 + i)\times(3 + i) \ \quad \quad \quad = 3 \times 3 + 3 \times i + i \times 3 + i \times i \ \quad \quad \quad = 9 + 6i + i^2 \ \quad \quad \quad = 9 + 6i - 1 \ \quad \quad \quad = 8 + 6i$

因此，$(3 + i)^2$ 的值为 $8 + 6i$。

计算 $(1 - i)^4$

下面，我们要计算 $(1 - i)^4$ 的值。同样地，按照复数乘法公式展开，我们有：

$(1 - i)^4 = (1 - i)\times(1 - i)\times(1 - i)\times(1 - i) \ \quad \quad \quad = (1 \times 1 - (-1) \times -1) + (1 \times -1 + 1 \times -1) i \ \quad \quad \quad = 2 - 2i$

因此，$(1 - i)^4$ 的值为 $2 - 2i$。

计算 $(3 + i)^2 + (1 - i)^4$

现在，我们将上面计算的结果代入原式，得到：

$(3 + i)^2 + (1 - i)^4 \ \quad \quad \quad = (8 + 6i) + (2 - 2i) \ \quad \quad \quad = 10 + 4i$

因此，$(3 + i)^2 + (1 - i)^4$ 的值为 $10 + 4i$。

总结

在本题中，我们通过复数乘法公式展开了 $(3 + i)^2$ 和 $(1 - i)^4$，并代入原式计算出了 $(3 + i)^2 + (1 - i)^4$ 的值。熟练掌握复数乘法公式，可以为我们在解决复杂的复数运算问题时提供很大的便利。