门 | GATE-CS-2004 |第 36 题

本题提供了两个算法，要求对它们进行比较。算法一是使用最小堆实现的 Prim 算法，算法二是使用哈希表和类似 Dijkstra 的贪心策略实现的 Kruskal 算法。

算法一：Prim 算法

Prim 算法是一种贪心算法，用于查找连通加权无向图的最小生成树。

算法思路

Prim 算法的基本思路是选择一个起点，逐步扩展这个点所在的树，直到所有点都被包含在树中。

1. 选取一个起点，将其加入生成树中。
2. 对于与生成树相连的每个点，计算它们和生成树之间的边的权重，并将它们加入到一个最小堆中。
3. 从最小堆中弹出最小边，如果这个边的另一个端点不在生成树中，则将其加入到生成树中。
4. 重复第 2 步和第 3 步，直到生成树包含所有点。

时间复杂度

Prim 算法的时间复杂度为 O(|E|log|V|)，其中 |E| 是边数，|V| 是点数。

算法二：Kruskal 算法

Kruskal 算法也是一种贪心算法，用于查找连通加权无向图的最小生成树。

算法思路

Kruskal 算法的基本思路是将所有边按权重排序，然后逐步将它们加入生成树中，但是保证加入的边不会构成环。

1. 将所有边按权重从小到大排序。
2. 从小到大枚举每条边，如果这条边所连接的两个端点不在同一棵树中，则将这条边加入到生成树中。
3. 重复步骤 2，直到生成树中有 |V|-1 条边，其中 |V| 是点数。

时间复杂度

Kruskal 算法的时间复杂度为 O(|E|log|E|)，其中 |E| 是边数。

算法比较

Prim 算法与 Kruskal 算法都是用于查找连通加权无向图的最小生成树的算法。但是，这两种算法适用于不同的场景。

当边的数量很大时，使用 Kruskal 算法更加高效，因为它可以在边集合中选择边，并且排序的时间复杂度是 O(|E|log|E|)。相反，如果点的数量很大，而边的数量比较少时，使用 Prim 算法更加高效，因为它可以将每个点与其相邻的边存储在一个最小堆中，并且排序的时间复杂度是 O(|E|log|V|)。此外，Prim 算法对于稠密图更加高效，而 Kruskal 算法对于稀疏图更加高效。

综上所述，使用哪种算法取决于具体的问题，需要根据图的特性进行选择。