证明 tan ⁴ θ + tan ² θ = sec ⁴ θ – sec ² θ

三角学是处理与它们相关的三角形和角度的数学分支。如果这个词被分成两部分，即三角形和几何，可以很容易地理解，这个数学分支涉及三角形的几何。使用三角学，可以很容易地理解三角形的性质及其应用。使用三角学，可以使用三角比找到任何三角形的角度和缺失边。

三角比

三角学中存在六个角度的函数或三角比。它们的名称和缩写是正弦 (sin)、余弦 (cos)、正切 (tan)、余切 (cot)、正割 (sec) 和余割 (csc)。这里要注意的一件重要事情是三角公式仅适用于直角三角形。让我们看看下图。

在这个直角三角形中，AC 边称为斜边。边 BC 被称为三角形的底边。 AB边称为三角形的高度。

三角比的基本公式

• Tan ∅ = sin ∅/cos ∅
• sin ∅ = 1/cosec ∅
• cos ∅= 1/秒 ∅
• 棕褐色∅= 1/婴儿床∅

证明 tan ⁴ θ + tan ² θ = sec ⁴ θ – sec ² θ

在开始解决以下证明之前，了解与三角学相关的一些基本恒等式很重要。为了解决与三角学相关的问题，必须对这些公式进行深入研究。以下是公式，

棕褐色² ∅ + 1 = 秒² ∅

In the above problem, LHS is tan⁴θ + tan²θ

Take tan² θ common from above

i.e, tan²θ(tan²θ + 1)  ⇢  (i)

From the formula, sec²∅+1=tan²∅, substituting this in (i),

tan²∅(sec²∅)  ⇢  (ii)

Now, the RHS is sec⁴ θ – sec² θ, so transform the tan²∅  present in (ii) to sec²∅ form.

So, using the same formula tan²∅ + 1 = sec²∅, we can also write this as  tan²∅=sec²∅-1

Substituting this in (ii),

(sec²∅ – 1)(sec²∅)

= sec⁴∅  -sec²∅

= RHS

Hence proved

类似问题

问题 1：证明 sec ² θ + cosec ² θ = sec ² θ × cosec ² θ

解决方案：

It is known, cos∅ = 1/sec ∅ or sec∅ = 1/cos∅

And sin∅ = 1/cosec∅ or cosec∅ = 1/sin ∅

Substituting these formula in LHS, 

1/cos²∅  + 1/sin²∅ 

Taking LCM,

(sin²∅ + cos²∅)/sin²∅ cos²∅ 

sin²∅ + cos²∅ = 1, therefore,

LHS = 1/sin²∅ cos²∅

Now coming to RHS,

cos∅ = 1/sec∅ or sec∅ = 1/cos∅

And sin  = 1/cosec∅ or cosec∅ = 1/sin∅,

So substitutuing these formulas in RHS, 

1/sin²∅ cos²∅ = RHS = LHS

Hence proved.

问题 2：证明 (sin∅ + cosec∅) ² + (cos∅ + sec∅) ² = 7 + tan ² ∅ + cot ² ∅

解决方案：

It is known, (a + b)² = a² + b² + 2ab,

Applying this formula to LHS,

sin²∅ + cosec²∅ + 2sin∅ cosec∅ + cos²∅ + sec²∅ + 2cos∅ sec∅

• sin ∅ = 1/cosec ∅
• cos ∅ = 1/sec ∅

Putting these in the above equation,

sin²∅ + cosec²∅ + 2sin∅ 1/sin ∅ + cos²∅ + sec²∅ + 2cos∅ 1/cos ∅

= sin2∅ + cosec²∅ +2 + cos²∅ + sec²∅ + 2

= (sin²∅ + cos²∅) + cosec²∅ + sec²∅ + 4

= 1+ cosec²∅ + sec²∅ + 4 

= (1+ tan²θ) + (1+ cot²θ) + 5              [sec²θ = 1 + tan²θ;  cosec²θ = 1+ cot²θ ]

= 7 + tan²∅ + cot²∅

Hence proved