两个不同字符的最长回文序列

介绍

本文主题为"两个不同字符的最长回文序列"，属于动态规划中的经典问题。回文序列是指正着和倒着读取一样的字符序列。

我们需要在给定的字符集{a,b}中，找到最长的回文序列。其中，a和b是两个不同的字符。下面将介绍该问题的解法和实现。

解法

首先，我们不难得出一个结论：最长回文序列的长度要么是奇数，要么是偶数。

在长度为n的序列中，以字符i为中心的最长回文序列长度为1或3或5...两个中的一个。对于长度为偶数的序列，不存在以某个字符为中心的最长回文序列。因此，我们需要分别考虑以上两种情况。

情况一：最长回文序列长度为奇数

假设字符串为s，其中s[i]表示第i个字符，maxLength[i][j]表示从i到j的最长回文序列长度。那么，状态转移方程为：

当i=j时，最长回文序列长度为1，即maxLength[i][i]=1。

当s[i]==s[j]时，长度为2的回文序列的长度为2，即maxLength[i][j]=2。

当s[i]!=s[j]时，最长回文序列的长度等于去掉i或j后的最长回文序列的长度+2，即maxLength[i][j]=maxLength[i+1][j-1]+2。

根据以上方程，我们可以得到以下代码片段：

def longest_palindrome(s: str) -> int:
    n = len(s)
    maxLength = [[0] * n for _ in range(n)]

    # 初始化
    for i in range(n):
        maxLength[i][i] = 1

    # 计算最长回文序列
    for l in range(2, n + 1):
        for i in range(n - l + 1):
            j = i + l - 1
            if s[i] == s[j]:
                maxLength[i][j] = maxLength[i + 1][j - 1] + 2
            else:
                maxLength[i][j] = max(maxLength[i + 1][j], maxLength[i][j - 1])

    return maxLength[0][-1]

情况二：最长回文序列长度为偶数

对于长度为偶数的回文序列，不存在以某个字符为中心的最长回文序列。我们需要将字符串拆分成两个相同的字符串，并分别计算最长回文序列。即maxLength[i][j]表示s[:i]和s[j:]两个子串对应最长的回文序列长度。

我们可以依次枚举字符串的长度，然后计算最长回文序列。具体实现如下：

def longest_palindrome(s: str) -> int:
    n = len(s)
    maxLength = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

    # 初始化
    for i in range(n):
        maxLength[i][i] = 1

    # 计算最长回文序列
    for l in range(2, n + 1, 2):
        for i in range(n - l + 1):
            j = i + l
            if s[i:j // 2] == s[j // 2:j][::-1]:
                maxLength[i][j] = maxLength[i][j // 2] + 1
            else:
                maxLength[i][j] = max(maxLength[i][j - 1], maxLength[i + 1][j])

    return maxLength[0][-1]

总结

本文介绍了"两个不同字符的最长回文序列"这个问题的解法和实现方法。对于长度为奇数的回文序列，我们可以采用动态规划的思想求解；对于长度为偶数的回文序列，我们需要将字符串拆分成两个相同的子串分别计算最长回文序列。通过本文的介绍，可以让大家对动态规划问题的解法和实现有更深刻的认识。