最长回文子序列的Python程序 | DP-12

回文串是指从左往右和从右往左都一样的字符串。例如，'racecar'和'madam'就是回文字符串。回文子序列是原字符串的一个子序列，这个子序列不一定是连续的，并且从左往右和从右往左都是一样的。例如，给定字符串'character'，则最长回文子序列为'carac'，长度为5。

本篇文章将介绍如何使用动态规划算法来求解最长回文子序列。以下是程序的实现：

def longest_palindrome_subsequence(s):
    n = len(s)
    # 初始化一个二维数组dp，用于记录子问题的解
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    # 初始化对角线上的值，它们表示字符串中长度为1的子串的最长回文序列长度为1
    for i in range(n):
        dp[i][i] = 1
    # i表示子串的长度，j表示子串的起始下标
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(n-i+1):
            if s[j] == s[j+i-1]:
                dp[j][j+i-1] = dp[j+1][j+i-2] + 2
            else:
                dp[j][j+i-1] = max(dp[j+1][j+i-1], dp[j][j+i-2])
    # 返回整个字符串的最长回文序列长度
    return dp[0][n-1]

算法分析

该算法使用动态规划思想，具体来说，我们用一个二维数组dp来记录从下标i到下标j(包括下标i和下标j)的子串的最长回文序列长度。我们考虑如何找到状态转移方程。如果s[i] == s[j]，则dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2，即在原来的最长回文序列基础上加上两个相等的字符。如果s[i] != s[j]，那么最长回文序列肯定不包含s[i]或s[j]，因此我们可以选择去掉s[i]或s[j]中的一个字符，即找到dp[i+1][j]和dp[i][j-1]中的最大值，即dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])。

在程序中，我们首先初始化了对角线上的值为1，因为每个字符本身就是最长回文序列，长度为1。然后应用状态转移方程求解，最后返回字符串的最长回文序列长度，即dp[0][n-1]。

总结

动态规划算法是求解最长回文子序列的一个高效解法。它的时间复杂度为$O(n^2)$，空间复杂度为$O(n^2)$。在实际应用中，该算法可以用于回文字符串的判断、DNA序列分析等领域。