为什么自然数称为自然数？

数学中的数字系统或记数系统使用由 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 组成的数字以一致的方式表示或表达数轴上的数字。此外，数字系统还用于表示一组值来表示数量。从计算夜空中的星星或求解复杂的数学方程开始，数字系统被用于在日常活动中执行的无数任务中，数字系统无处不在。

例如： {1,2,3,4,5…………..∞} 可以表示为从 1 开始到无穷大的数系中的一组自然数。

数字类型

• 自然数 (N)：这些数字由一组从 1 开始直到无穷大的所有正数组成。
  自然数集合可以定义为 N ={1, 2, 3, 4, 5, …………。 ∞}。
• 整数(W)：这些数字由一组所有自然数和 0（零）组成。
  整数集可以定义为W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …………… ∞}。
• 整数 (Z)：这些数字由一组所有正负自然数组成，包括 0（零）。
  整数集可以定义为Z = {-∞ ……….. , -5, -4, -3, -2, -1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5, ………… …… ∞ }。
• 有理数 (Q)：这些数可以写成或以 a/b 或两个数之比的形式表达。
  有理数的例子有12/4、-3/5、6/-12、0/1 等。
• 无理数 (P)：这些是不能以a/b形式或两个数之比的形式表示的数字。
  无理数的例子有√5、e = 2.718281、√7 等。
• 虚数 (Im (Z))：这些是实数与虚数单位“i”的乘积。
  虚数的例子有i ² , 2i, √5i 等。
• 实数 (R)：这些数字由所有正数、负数、小数或小数组成，没有任何虚数单位或数量。
  实数的示例有3/4、2.3432、√3、-4、10 等。
• 复数 (Re (Z))：这些是以a+bi形式书写或表达的数字，其中a和b是实数， i是虚数单位。
  复数的示例有1+3i、2+i、4+√3i 等。

为什么自然数被称为自然数？

所有可以代表一些实际生命存在量的数字都称为自然数。自然数的范围是从 1 到无穷大的所有正数。自然数不包含 0（零），因为在现实生活中，零代表什么，或者仅仅意味着该数量不存在，这意味着这些是自然发生的数字。

例如：您可以在购物袋中放入一个或多个苹果，但您不能将零个苹果放入其中或将零个苹果放在您的手中，因为此时苹果对您来说根本不存在。

从上面的例子中，我们可以确定自然数对一些实际存在的数量有自然的引用，就像在现实生活中数量的计数从 1 开始而不是 0 一样。

数字系统的类型

• 二进制数字系统：这种数字系统只有两个数字，即 0 和 1。这个数字系统中数字的基数是 2。在这个系统中，0 和 1 是位，其中八个位一起构成一个字节。位是计算机中最小的存储单元，在计算机上执行的所有操作，无论是基本的还是复杂的，都以二进制形式完成，即 0 和 1 的形式。
  示例：011101 ₂ , 000111 ₂ , 010101 ₂等
• 八进制数字系统：这种数字系统由 0-7 的八位数字组成。这个数字系统中数字的基数是 8。
  示例： 47 ₈ 、 109 ₈ 、 343 ₈等。
• 十进制数字系统：这种数字系统包括0-9之间的数字。这个数字系统中数字的基数是 10。十进制数字用于表示实际的生命数量，因为这些十进制数字是我们在日常生活中使用的数字。如果一个数字没有底，它仅仅意味着这个数字是以 10 为底的。
  示例： 2893 ₁₀ 、 12 ₁₀ 、 456 ₁₀ 、 909 ₁₀等。
• 十六进制数字系统：这种数字系统由 0-9 范围内的十进制数字和六个字母字符A、B、C、D、E、F 组成，这些字符将数字替换为 A=10、B=11、C =12、D=13、E=14、F=15，一共是16位。这个数字系统中数字的基数是 16。
  示例：134A ₁₆ 、3B4 ₁₆ 、12A4F ₁₆等。

基于数字系统的示例问题

问题 1. 将一组 456 名学生按 12:16 的比例分成一组。

解决方案：

Given Number of students = 456

Given ratio = 12:26

Let S be the number of students i.e, S = 456

Let a = 12 and b = 16 then the sum of the ratio R will be : R = a+b

R = 12 + 26, R = 38 

Now to find the ratio in form of a/b or a:b 

For a:

a = (S/R)*a

a = (456/38)*12

a = (12)*12

a = 144

For b:

b = S – a

b = 456 – 144

b = 312

Answer: Obtained value of a and b are 144 and 312 therefore the ratio of the students will be = 144 : 312

问题 2。约翰每月收入 56000 卢比。他将收入的 1/4 用于食物；剩余的 3/10 用于房租，剩余的 5/21 用于儿童教育。他身上还剩多少钱？

解决方案：

Given, total salary of john = Rs.56000

Given expences on food = 1/4

Given expences on house rent = 3/10

Given expences on education = 5/21

Salary of John that he spends on food = 56000 x 1/4

 = 14000

The total portion of the salary of John that he spends on food is Rs.14000, therefore the remaining 

salary of John will be: Total salary – food expences 

56000 – 14000 = 42000

Now, the salary of john that he spends on house rents after spending on food = 42000 x 3/10

= 12600

Total remaining salary of John after spending house rent is house rent – remaining salary

42000 – 12600 = 29400

Now, the salary of john that he spends on the education of his children from his remaining salary after

 spending on food and house rent = 29400 x 5/21

 = 7000 

Total remaining salary of john after spending on education of his children = education – remaining salary

29400 – 7000 = 22400

So, the total remaining salary of john after spending on food, house rent and education of children is :

Answer: 22400 

问题 3. 化简下列数字：

一种。 √-1

湾。 -1

C。 √-16

d。 √-20

解决方案：

We Know that : i = √-1

i^{2 =} -1

i^{3 = -i}

i^{4 =}  1

a. Simplify √-1.  

we know that : i = √-1

so, √-1 can be simplifies as i

b. Simplify -1.  

we know that : i² = -1

so, -1 can be simplifies as i²

c. Simplify  √-16.

√-16 can be written as : √(16 x -1) or √16 x √-1

that is equivalent to : 4 x √-1

we know that i = √-1

therefore √-16 can be simplified as 4i

d. Simplify √-20.

√-20 can be written as √(20 x -1) or √20 x √-1

that is equivalent to √20 x i

therefore √-20 can be simplified as i√20.

问题 4. 求解以下二次方程 3x ² + 6 = 6x。

解决方案：

Given quadratic equation = 3x² + 6 = 6x     ……. eq(1)

converting the quadratic equation in the form of ax² + bx + c = 0

3x² – 6x + 6 = 0  

here, a = 3, b = -6, and c = 6.

using the formulae (-b ± √(b² – 4ac))/2a .

Putting the value of a,b and c in the formulae

(-(-6) ± √((-6)² – 4 x 3 x 6))/2 x 3 

we get,

= (6 ± √(36 – 72))/6

= (6 ± √-36)/6

= (6 ± 6i)/6

On dividing the equation by 6 we get, (1 ± i) i.e, 1 + i and 1 – i.

putting 1 + i and 1 – i in eq(1) 

(1 + i):                                                                         (1 – i):

3(1 + i)² + 6 = 6(1 + i)                                                  3(1 – i)² + 6 = 6(1 – i)

3(1² + i^{2 +} 2i) + 6 = 6 + 6i                                            3(1² + i² – 2i) + 6 = 6 – 6i

3(1 + (-1) + 2i) + 6 = 6 + 6i                                         3(1 + (-1) – 2i) + 6 = 6 – 6i

3 – 3 + 6i + 6 = 6 + 6i                                                  3 – 3 – 6i + 6 = 6 – 6i

6i + 6 = 6i + 6 (hence proved)                                     -6i + 6 = -6i + 6 (hence proved)

问题 5. 合理化 3/(4 – √6)。

解决方案：

Given Rational number = 3/(4 – √6).

We can see that denominator contains an irrational number so we need to multiply the additive inverse of the denominator to the numerator and denominator,

3/(4 – √6) x (4 + √6)/(4 + √6)

Now, the equation will be: 

3(4 + √6)/(4 – √6) x (4 + √6)

=  (12 + 3√6)/(16 – 6).

=  (12 + 3√6)/10

So the rationalized form of 3/(4 – √6) will be (12 + 3√6)/10.