门 | GATE-CS-2005 |问题16

该问题是2005年计算机科学领域的GATE考试中的问题16，主要考察门电路的设计和实现能力。以下是该问题的详细介绍。

问题描述

设计一个电路，使用以下部件实现逻辑运算 $x ⊕ y ⊕ z$，其中 ⊕ 表示异或运算：

• 2个 2-input NAND 门（2输入非与门）
• 1个 2-input NOR 门（2输入或非门）

解答

门电路的设计是电子工程师和计算机科学家必备的技能之一。在这道题中，我们需要用 NAND 和 NOR 门来实现一个异或运算电路。

1. 确定多个输入的异或电路实现方式

首先，我们需要将多个输入的异或运算转换为两个输入的异或运算。下面列出了一些常用的两个输入异或运算的布尔代数公式：

• $x⊕0=x$
• $x⊕1=¬x$
• $x⊕x=0$
• $(x⊕y)⊕x=y$
• $(x⊕y)⊕y=x$

2. 设计逻辑电路ABC异或电路

接下来，我们将使用 NAND 门和 NOR 门组合实现一个异或电路。下面是异或电路的逻辑设计：

• 对于给定的输入 $A$, $B$ 和 $C$，将它们连接到最上面的两个 NAND 门的输入端。
• 计算 $A⊕B$ 的结果并将其连接到 NOR 门的一个输入端，即 $A⊕B$ 和 $C$ 连接到 NOR 门的另一个输入端。
• 最后的输出将从 NOR 门的输出端得到。

3.　推导异或电路真值表

异或电路的真值表如下所示：（其中 x、y 和 z 分别代表输入变量 $A$, $B$ 和 $C$ 的取值）

| x | y | z | x ⊕ y ⊕ z | |---|---|---|-------------| | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 1 | | 1 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 1 |

4.　门电路实现

下面是异或电路的门电路实现：

NAND gate      NOR Gate
     __________________
A----|NAND          NOR|----out
     |      NAND      |
B----|NAND_________   |
                   |  |
C----------------| NOR|
                   ————

5.　总结

本文中，我们研究了如何使用 NAND 和 NOR 门组合实现异或电路。我们讨论了布尔代数和门电路的核心概念，并演示了如何从布尔公式推导门电路。希望这篇文章能够帮助您进一步了解门电路的设计原理。