差商公式

差商公式是一个求解插值多项式的重要公式，它可以通过给定的一组点来构造一个多项式，用于逼近原始数据。

公式

对于给定的一组点 $x_0, x_1, \cdots, x_n$ 和它们的函数值 $f(x_0), f(x_1), \cdots, f(x_n)$，定义差商为：

$$f[x_i] = f(x_i)$$

$$f[x_i, x_{i+1}, \cdots, x_j] = \frac{f[x_{i+1}, x_{i+2}, \cdots, x_j] - f[x_i, x_{i+1}, \cdots, x_{j-1}]}{x_j - x_i}$$

再定义插值多项式为：

$$P_n(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x - x_0) + \cdots + f[x_0, x_1, \cdots, x_n](x - x_0)(x - x_1)\cdots(x - x_{n-1})$$

实现

以下是使用 Python 实现差商公式的例子：

def divided_differences(x, y):
    """
    计算差商
    """
    n = len(x)
    F = [[0] * n for i in range(n)]
    for i in range(n):
        F[i][0] = y[i]
    for j in range(1, n):
        for i in range(j, n):
            F[i][j] = (F[i][j-1] - F[i-1][j-1]) / (x[i] - x[i-j])
    return F

def newton_interpolation(x, y, z):
    """
    计算插值多项式在点 z 的取值
    """
    F = divided_differences(x, y)
    n = len(x) - 1
    P = F[n][n]
    for k in range(1, n+1):
        P = F[n-k][n-k] + (z - x[n-k]) * P
    return P

# example
x = [1, 2, 3, 4, 5]
y = [0, 1, 0, 1, 0]
z = 2.5
print(newton_interpolation(x, y, z))

以上代码示例中实现了差商公式的两个核心函数：divided_differences 和 newton_interpolation。前者用于计算给定点的差商，后者用于计算插值多项式在某个点的值。

总结

差商公式是一种重要的数值计算方法，用于计算插值多项式，并广泛应用于科学、工程等领域。在实现时需要注意计算差商和插值多项式对输入的要求，特别是对于大规模的数据集需要考虑计算效率和精度。