在地雷路径中找到最短的安全路线

介绍

本文将介绍如何用程序在地雷路径中找到最短的安全路线。

假设我们有一个 $n\times m$ 的地雷场，其中有若干个地雷，我们需要从左上角走到右下角，保证不经过地雷，同时需要走过的距离最短。

本文将介绍两种解决方案：

1. 广度优先搜索（BFS）
2. Dijkstra 算法

广度优先搜索

广度优先搜索是一种无权图最短路径算法，其思想是从起点开始，一步一步向外扩展，直到找到目标点。

我们可以将地图抽象为一个二维数组，其中 0 表示可以通过的空地，1 表示地雷无法通过。我们从起点开始，每次将所有与当前点相邻的空地标记为已访问，并计算它们到起点的距离。

当我们找到终点时，就可以返回它到起点的距离，即为最短路线。

代码示例

from collections import deque

def bfs(start, end, matrix):
    """
    广度优先搜索算法
    :param start: 起点坐标
    :param end: 终点坐标
    :param matrix: 地图二维列表
    :return: 到终点的最短距离
    """
    # 定义四个方向
    dirs = [(1, 0), (-1, 0), (0, 1), (0, -1)]
    queue = deque([(start[0], start[1], 0)])
    visited = set()

    while queue:
        x, y, d = queue.popleft()
        if (x, y) in visited:
            continue
        visited.add((x, y))
        if (x, y) == (end[0], end[1]):
            return d
        
        for dx, dy in dirs:
            if 0 <= x+dx < len(matrix) and 0 <= y+dy < len(matrix[0]) and matrix[x+dx][y+dy] == 0:
                queue.append((x+dx, y+dy, d+1))

    return -1

复杂度

时间复杂度：$O(nm)$，需要遍历整个地图。

空间复杂度：$O(nm)$，需要开辟一个 visited 数组来记录已经访问的点。

Dijkstra 算法

Dijkstra 算法是一种解决带权图最短路径问题的贪心算法。

我们可以将每个空地看做一个节点，它们之间的边权重为它们之间的曼哈顿距离。我们以起点为出发点，使用堆来维护所有未确定的节点，并使用一个数组来记录起点到每个节点的最短距离。

每次从堆中取出距离起点最近的节点，并将它与未确定节点的距离更新。需要注意的是，如果两点之间的距离已经确定，则无需更新。

最后，我们就可以得到起点到终点的最短距离。

代码示例

import heapq

def dijkstra(start, end, matrix):
    """
    Dijkstra 算法
    :param start: 起点坐标
    :param end: 终点坐标
    :param matrix: 地图二维列表
    :return: 到终点的最短距离
    """
    # 定义四个方向
    dirs = [(1, 0), (-1, 0), (0, 1), (0, -1)]
    heap = [(0, start[0], start[1])]
    visited = set()
    distance = {(i, j): float('inf') for i in range(len(matrix)) for j in range(len(matrix[0]))}
    distance[start] = 0

    while heap:
        d, x, y = heapq.heappop(heap)
        if (x, y) in visited:
            continue
        visited.add((x, y))
        if (x, y) == end:
            return d

        for dx, dy in dirs:
            if 0 <= x+dx < len(matrix) and 0 <= y+dy < len(matrix[0]) and matrix[x+dx][y+dy] == 0:
                child_distance = d + abs(dx) + abs(dy)
                if child_distance < distance[(x+dx, y+dy)]:
                    distance[(x+dx, y+dy)] = child_distance
                    heapq.heappush(heap, (child_distance, x+dx, y+dy))

    return -1

复杂度

时间复杂度：$O(mn\log(mn))$，因为堆的操作需要 $\log(mn)$ 的时间，总共需要进行 $mn$ 次操作。

空间复杂度：$O(mn)$，需要开辟一个 visited 数组和 distance 字典来记录已经访问的点和起点到每个点的距离。