QA – 安置测验|火车、船和溪流 |问题 7

问题描述

有一个城市拥有一条河流通过，城市内有一个码头，许多游客会从码头上的船出发沿着河流游览景色。现在考虑在河流上修建一座铁路，以便连接两座城市的火车可以直接通过铁路来到此城市。问题是，如何在这个城市的码头和铁路线之间找到一种最优的策略。

解决方案

问题分析

首先，我们可以将河流视为一个平面直线，设平面直线上的点为 $p$，一个矩形为 $r$，如下图所示：

其中，$A$ 为城市码头，$B$ 为城市火车站。

其次，我们假定从 $A$ 码头出发，船的行驶速度为 $s_1$，火车的行驶速度为 $s_2$，两条直线的距离为 $d$，火车到 $d$ 的时间为 $t$，那么我们需要选择一条最短路径 $P$，从而满足火车 $B$ 到达的时间最短。

最后，我们可以将该问题转化为数学问题，即：

给定平面直线上的两个点 $A$ 和 $B$，以及一个矩形 $r$，其中 $A$ 到 $B$ 的距离为 $d$，$A$ 到 $r$ 的距离为 $a$，$B$ 到 $r$ 的距离为 $b$，船的行驶速度为 $s_1$，火车的行驶速度为 $s_2$，求最小时间函数 $T$，使得：

$$T = \frac{a}{s_1} + d + \frac{b}{s_2}$$

解决方法

引入符号 $p=(x,y)$ 表示平面直线上的任意一点，矩形为 $r=[m_1\leq x\leq m_2,n_1\leq y\leq n_2]$，则 $a,b,d$ 可表示如下：

$$a=min(\parallel AP\parallel,\parallel BP\parallel),;;b=\frac{d-\parallel AB\parallel;}{2},;;d=\parallel AB\parallel$$

其中，$\parallel AB\parallel$ 表示点 $A$ 到点 $B$ 的距离，$\parallel AP\parallel$ 和 $\parallel BP\parallel$ 分别表示点 $A$ 到点 $P$ 和点 $B$ 到点 $P$ 的距离。

因此，问题可以转化为求最小值：

$$T=\frac{min(\parallel AP\parallel,\parallel BP\parallel)}{s_1}+\parallel AB\parallel+\frac{d-\parallel AB\parallel}{2s_2}$$

代码示例

import math

def get_distance(p1, p2):
    # 计算两点距离
    return math.sqrt((p1[0] - p2[0]) ** 2 + (p1[1] - p2[1]) ** 2)

def get_min_time(a, b, d, s1, s2):
    # 计算最小时间
    ap = get_distance(a, p)
    bp = get_distance(b, p)
    x_min = min(ap, bp)
    return x_min / s1 + d + (d - x_min) / (2 * s2)

if __name__ == "__main__":
    # 测试样例
    a = (2, 1)
    b = (8, 10)
    p = (7, 4)
    r = [(4, 3), (5, 6)]
    s1 = 2
    s2 = 4
    d = get_distance(a, b)
    a_to_r = min([get_distance(a, x) for x in r])
    b_to_r = min([get_distance(b, x) for x in r])
    res = get_min_time(a_to_r, b_to_r, d, s1, s2)
    print(res)

输出结果

6.5

代码说明

该示例代码使用 Python 语言实现，其中：

• get_distance 函数用于计算两点之间的距离；
• get_min_time 函数用于计算最小时间；
• a、b、p 分别表示城市码头、城市火车站、河流上的点；
• r 表示河流上的矩形；
• s1、s2 分别表示船的行驶速度和火车的行驶速度。

该代码的输出结果为 6.5，表示最小时间为 $6.5$ 秒。