方法

线性规划也称为线性优化，是一种用于解决数学问题的技术，其中关系本质上是线性的。线性规划的基本性质是在某些约束下最大化或最小化目标函数。目标函数是从问题的数学模型获得的线性函数。约束是施加在模型上的条件，也是线性的。

• 从给定的问题中找到目标函数。
• 找到约束。
• 在图上绘制约束。
• 找到可行区域，该区域由所有约束的交集形成。
• 找到可行区域的顶点。
• 在这些顶点处找到目标函数的值。
• 答案是最大化或最小化目标函数(根据问题)的顶点。

例子

步骤1-最大化$ 5x + 3y $

$ x + y \ leq 2 $，

$ 3x + y \ leq 3 $，

$ x \ geq 0 \：和\：y \ geq 0 $

解决方案–

第一步是在图上找到可行区域。

从图中可以明显看出，可行区域的顶点是

$ \ left(0，0 \ right)\ left(0，2 \ right)\ left(1，0 \ right)\ left(\ frac {1} {2}，\ frac {3} {2} \ right )$

设$ f \ left(x，y \ right)= 5x + 3y $

将这些值放在目标函数，我们得到-

$ f \ left(0，0 \ right)$ = 0

$ f \ left(0，2 \ right)$ = 6

$ f \ left(1，0 \ right)$ = 5

$ f \ left(\ frac {1} {2}，\ frac {3} {2} \ right)$ = 7

因此，该函数在$ \ left(\ frac {1} {2}，\ frac {3} {2} \ right)$处最大化

步骤2-一家钟表公司生产数字和机械表。长期预测表明每天的期望需求至少为100枚数字手表和80枚机械手表。由于生产能力的限制，每天只能生产不超过200只电子表和170只机械表。为了满足运输合同，每天总共要运送至少200枚手表。

如果售出的每只数字手表都造成2美元的亏损，而每只机械表却产生5美元的利润，那么每天应制作多少种每种手表以使净利润最大化?

解决方案–

假设$ x $是生产的数字手表的数量

$ y $是生产的机械表的数量

根据该问题，每天至少要制造100枚数字手表，最多可以制造200枚数字手表。

$ \ Rightarrow 100 \ leq \：x \ leq 200 $

同样，每天至少要制造80枚机械表，最多可以制造170枚机械表。

$ \ Rightarrow 80 \ leq \：y \ leq 170 $

由于每天至少要生产200只手表。

$ \ Rightarrow x + y \ leq 200 $

由于售出的每只数字手表都会造成$ \ $ 2的损失，但是每只机械手表都会产生$ \ $ 5 $的利润，

总利润可以计算为

$利润= -2x + 5y $

而且我们必须最大化利润，因此，问题可以表述为-

最大化$ -2x + 5y $，具体取决于

$ 100 \：\ leq x \：\ leq 200 $

$ 80 \：\ leq y \：\ leq 170 $

$ x + y \：\ leq 200 $

将以上方程式绘制在图中，我们得到，

可行区域的顶点是

$ \左(100，170 \右)\左(200，170 \右)\左(200，180 \右)\左(120，80 \右)和\左(100，100 \右)$

目标函数的最大值为$ \ left(100，170 \ right)$。因此，为了使净利润最大化，应生产100枚数字手表和170枚机械手表。