像连续时间信号傅立叶变换一样，离散时间傅立叶变换可用于将离散序列表示为其等效频域表示和LTI离散时间系统，并开发各种计算算法。

连续FT中的X(jω)是x(n)的连续函数。但是，DFT用其频谱X(ω)的样本表示x(n)。因此，该数学工具在方便的表示中在计算上具有重要意义。周期性和非周期性序列都可以通过此工具进行处理。需要通过将周期扩展到无穷大来采样周期序列。

频域采样

从介绍中可以明显看出，我们需要知道如何进行频域采样，即采样X(ω)。因此，以以下方式建立采样傅立叶变换与DFT之间的关系。

同样，可以通过将周期N扩展到无穷大来使周期序列适合此工具。

令非周期序列为$ X(n)= \ lim_ {N \ to \ infty} x_N(n)$

定义傅立叶变换，

$ X(\ omega)= \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty x(n)e ^ {-jwn} X(K \ delta \ omega)$ … eq(1)

在此，以每个δω弧度间隔定期采样X(ω)。

由于X(ω)以2π弧度为周期，因此我们仅需要基本范围内的样本。在0≤ω≤2π频率范围内等距间隔后采样。等效间隔之间的间距为$ \ delta \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $弧度。

现在评估，$ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $

$ X(\ frac {2 \ pi} {N} k)= \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty x(n)e ^ {-j2 \ pi nk / N}，$ … eq( 2)

其中k = 0,1，……N-1

细分以上内容后，互换求和顺序

$ X(\ frac {2 \ pi} {N} k)= \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} [\ displaystyle \ sum \ limits_ {l =-\ infty} ^ \ infty x(n-Nl)] e ^ {-j2 \ pi nk / N} $ … eq(3)

$ \ sum_ {l =-\ infty} ^ \ infty x(n-Nl)= x_p(n)= a \ quad周期\ quad函数\ quad的周期\ quad N \ quad和\ quad其\ quad Fourier \ quad series \ quad = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} C_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $

其中，n = 0,1，…..，N-1； ‘p’-代表周期性实体或函数

傅立叶系数为

$ C_k = \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_p(n)e ^ {-j2 \ pi nk / N} $ k = 0,1，…，N- 1 … eq(4)

比较方程式3和4，我们得到；

$ NC_k = X(\ frac {2 \ pi} {N} k)$ k = 0,1，…，N-1 … eq(5)

$ NC_k = X(\ frac {2 \ pi} {N} k)= X(e ^ {jw})= \ displaystyle \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ \ infty x_p(n)e ^ { -j2 \ pi nk / N} $ … eq(6)

从傅立叶级数展开

$ x_p(n)= \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X(\ frac {2 \ pi} {N} k)e ^ {j2 \ pi nk / N} $ … eq(7)

其中n = 0,1，…，N-1

在这里，我们从X(ω)得到周期信号。如果时域中没有混叠，则只能从$ x_p(n)$中提取$ x(n)$。 $ N \ geq L $

N = $ x_p(n)$的周期L = $ x(n)$的周期

$ x(n)= \ begin {cases} x_p(n)，＆0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0，＆else \ end {cases} $

以这种方式实现映射。

DFT的性质

线性度

它指出信号组合的DFT等于各个信号的DFT之和。让我们取两个信号x ₁ (n)和x ₂ (n)，它们的DFT分别为X ₁ (ω)和X ₂ (ω)。因此，如果

$ x_1(n)\ rightarrow X_1(\ omega)$和$ x_2(n)\ rightarrow X_2(\ omega)$

然后$ ax_1(n)+ bx_2(n)\ rightarrow aX_1(\ omega)+ bX_2(\ omega)$

其中a和b是常数。

对称

DFT的对称性可以通过与我们推导的DTFT对称性类似的方式来推导。我们知道序列x(n)的DFT由X(K)表示。现在，如果x(n)和X(K)是复数值序列，则可以表示为

$ x(n)= x_R(n)+ jx_1(n)，0 \ leq n \ leq N-1 $

并且$ X(K)= X_R(K)+ jX_1(K)，0 \ leq K \ leq N-1 $

二元性

让我们考虑一个信号x(n)，其DFT为X(K)。令有限持续时间序列为X(N)。然后根据对偶定理，

如果$ x(n)\ longleftrightarrow X(K)$

然后， $ X(N)\ longleftrightarrow Nx [((-k))_ N] $

因此，如果我们知道DFT，就可以使用该定理轻松找到有限的持续时间序列。

复合共轭物的性质

假设有一个信号x(n)，其DFT对我们来说也称为X(K)。现在，如果将信号的复共轭表示为x *(n)，则可以通过使用以下所示的定理轻松地找到DFT，而无需进行大量计算。

如果$ x(n)\ longleftrightarrow X(K)$

然后， $ x *(n)\ longleftrightarrow X *((K))_ N = X *(NK)$

循环频移

序列x(n)与复指数序列$ e ^ {j2 \ Pi kn / N} $的乘积等效于DFT在频率上循环移位L个单位。这是循环时移的双重属性。

如果$ x(n)\ longleftrightarrow X(K)$

然后， $ x(n)e ^ {j2 \ Pi Kn / N} \ longleftrightarrow X((KL))_ N $

两个序列相乘

如果存在两个信号x ₁ (n)和x ₂ (n)，并且它们各自的DFT为X ₁ (k)和X ₂ (K)，则信号在时间序列上的相乘对应于其DFT的循环卷积。

如果$ x_1(n)\ longleftrightarrow X_1(K)\ quad \＆\ quad x_2(n)\ longleftrightarrowarrow X_2(K)$

然后， $ x_1(n)\ x_2(n)\ longleftrightarrow X_1(K)©X_2(K)$

帕瑟瓦尔定理

通常，对于复数值序列x(n)和y(n)

如果$ x(n)\ longleftrightarrow X(K)\ quad \＆\ quad y(n)\ longleftrightarrow Y(K)$

然后， $ \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x(n)y ^ *(n)= \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X( K)Y ^ *(K)$