例子1

当所有初始条件均为零时，找到系统$ s(n + 2)-3s(n + 1)+ 2s(n)= \ delta(n)$的响应。

解决方案-在上述方程式的两边进行Z变换，我们得到

$$ S(z)Z ^ 2-3S(z)Z ^ 1 + 2S(z)= 1 $$

$ \ Rightarrow S(z)\ lbrace Z ^ 2-3Z + 2 \ rbrace = 1 $

$ \ Rightarrow S(z)= \ frac {1} {\ lbrace z ^ 2-3z + 2 \ rbrace} = \ frac {1} {(z-2)(z-1)} = \ frac {\ alpha _1} {z-2} + \ frac {\ alpha _2} {z-1} $

$ \ Rightarrow S(z)= \ frac {1} {z-2}-\ frac {1} {z-1} $

取上述方程的反Z变换，我们得到

$ S(n)= Z ^ {-1} [\ frac {1} {Z-2}]-Z ^ {-1} [\ frac {1} {Z-1}] $

$ = 2 ^ {n-1} -1 ^ {n-1} = -1 + 2 ^ {n-1} $

例子2

求出其差分方程描述如下的系统的系统函数H(z)和单位样本响应h(n)

$ y(n)= \ frac {1} {2} y(n-1)+ 2x(n)$

其中，y(n)和x(n)分别是系统的输出和输入。

解决方案-通过上述差分方程的Z变换，我们得到

$ y(z)= \ frac {1} {2} Z ^ {-1} Y(Z)+ 2X(z)$

$ = Y(Z)[1- \ frac {1} {2} Z ^ {-1}] = 2X(Z)$

$ = H(Z)= \ frac {Y(Z)} {X(Z)} = \ frac {2} {[1- \ frac {1} {2} Z ^ {-1}]} $

该系统在$ Z = \ frac {1} {2} $和$ Z = 0 $且$ H(Z)= \ frac {2} {[1- \ frac {1} {2} Z ^ {-1}]} $

因此，采用上面的逆Z变换，我们得到

$ h(n)= 2(\ frac {1} {2})^ nU(n)$

例子3

在以下情况下确定Y(z)，n≥0-

$ y(n)+ \ frac {1} {2} y(n-1)-\ frac {1} {4} y(n-2)= 0 \给定的四\ quad y(-1)= y( -2)= 1 $

解决方案-将Z变换应用于上述方程式，我们得到

$ Y(Z)+ \ frac {1} {2} [Z ^ {-1} Y(Z)+ Y(-1)]-\ frac {1} {4} [Z ^ {-2} Y( Z)+ Z ^ {-1} Y(-1)+4(-2)] = 0 $

$ \ Rightarrow Y(Z)+ \ frac {1} {2Z} Y(Z)+ \ frac {1} {2}-\ frac {1} {4Z ^ 2} Y(Z)-\ frac {1} {4Z}-\ frac {1} {4} = 0 $

$ \ Rightarrow Y(Z)[1+ \ frac {1} {2Z}-\ frac {1} {4Z ^ 2}] = \ frac {1} {4Z}-\ frac {1} {2} $

$ \ Rightarrow Y(Z)[\ frac {4Z ^ 2 + 2Z-1} {4Z ^ 2}] = \ frac {1-2Z} {4Z} $

$ \ Rightarrow Y(Z)= \ frac {Z(1-2Z)} {4Z ^ 2 + 2Z-1} $