我们知道，当$ \ omega = 2 \ pi K / N $和$ N \ rightarrow \ infty时，\ omega $变为连续变量，并且限制总和从$-\ infty $变为$ + \ infty $。

因此，

$$ NC_k = X(\ frac {2 \ pi} {N} k)= X(e ^ {j \ omega})= \ displaystyle \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ \ infty x(n) e ^ {\ frac {-j2 \ pi nk} {N}} = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ \ infty x(n)e ^ {-j \ omega n} $$

离散时间傅立叶变换(DTFT)

我们知道，$ X(e ^ {j \ omega})= \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty x(n)e ^ {-j \ omega n} $

其中，$ X(e ^ {j \ omega})$在ω中是连续且周期性的，周期为2π。 …eq(1)

现在，

$ x_p(n)= \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $ …从傅立叶级数

$ x_p(n)= \ frac {1} {2 \ pi} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} \ times \ frac {2 \ pi} {N } $

由于上述原因，ω变为连续，并且$ \ frac {2 \ pi} {N} \ rightarrow d \ omega $。

$ x(n)= \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {n = 0} ^ {2 \ pi} X(e ^ {j \ omega})e ^ {j \ omega n} d \ omega $ …eq(2)

离散时间傅立叶逆变换

象征性地

$ x(n)\ Longleftrightarrow x(e ^ {j \ omega})$ (傅立叶变换对)

对于非周期序列x(n)，存在离散时间傅立叶变换的必要和充分条件是绝对可加的。

ie $ \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty | x(n)| <\ infty $

DTFT的特性

• 线性度： $ a_1x_1(n)+ a_2x_2(n)\左箭头a_1X_1(e ^ {j \ omega})+ a_2X_2(e ^ {j \ omega})$

• 时移– $ x(nk)\ Leftrightarrow e ^ {-j \ omega k} .X(e ^ {j \ omega})$

• 时间反转– $ x(-n)\ Leftrightarrow X(e ^ {-j \ omega})$

• 频移– $ e ^ {j \ omega _0n} x(n)\ Leftrightarrow X(e ^ {j(\ omega-\ omega _0)})$

• 微分频域– $ nx(n)= j \ frac {d} {d \ omega} X(e ^ {j \ omega})$

• 卷积– $ x_1(n)* x_2(n)\ Leftrightarrow X_1(e ^ {j \ omega})\ times X_2(e ^ {j \ omega})$

• 乘法– $ x_1(n)\ x x_2(n)\ Leftrightarrow X_1(e ^ {j \ omega})* X_2(e ^ {j \ omega})$

• 相互关系– $ y_ {x_1 \ times x_2}(l)\ Leftrightarrow X_1(e ^ {j \ omega})\ times X_2(e ^ {j \ omega})$

• 调制定理− $ x(n)\ cos \ omega _0n = \ frac {1} {2} [X_1(e ^ {j(\ omega + \ omega _0})* X_2(e ^ {jw})$

• 对称– $ x ^ *(n)\ Leftrightarrow X ^ *(e ^ {-j \ omega})$;

  $ x ^ *(-n)\左箭头X ^ *(e ^ {j \ omega})$;

  $ Real [x(n)] \ Leftrightarrow X_ {even}(e ^ {j \ omega})$;

  $ Imag [x(n)] \ Leftrightarrow X_ {odd}(e ^ {j \ omega})$;

  $ x_ {even}(n)\ Leftrightarrow Real [x(e ^ {j \ omega})] $;

  $ x_ {odd}(n)\ Leftrightarrow Imag [x(e ^ {j \ omega})] $;

• Parseval定理– $ \ sum _ {-\ infty} ^ \ infty | x_1(n)| ^ 2 = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {-\ pi} ^ {\ pi} | X_1(e ^ {j \ omega})| ^ 2d \ omega $

之前，我们研究了频域中的采样。有了这些基础知识，我们就可以在频域中对$ X(e ^ {j \ omega})$进行采样，从而可以从采样数据中进行方便的数字分析。因此，DFT是在时域和频域中进行采样的。假设$ x(n)= x_p(n)$

因此，DFT由-

$ X(k)= DFT [x(n)] = X(\ frac {2 \ pi} {N} k)= \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x(n) e ^ {-\ frac {j2 \ pi nk} {N}} $， k = 0,1，….，N-1 …eq(3)

并且IDFT由-

$ X(n)= IDFT [X(k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X(k)e ^ {\ frac {j2 \ pi nk} {N}} $， n = 0,1，….，N-1 …eq(4)

$ \因此x(n)\ Leftrightarrow X(k)$

旋转因子

它表示为$ W_N $，并定义为$ W_N = e ^ {-j2 \ pi / N} $。它的大小始终保持统一。 $ W_N = -2 \ pi / N $的相位。它是单位圆上的向量，用于计算方便。从数学上讲，它可以显示为-

$ W_N ^ r = W_N ^ {r \ pm N} = W_N ^ {r \ pm 2N} = … $

• 它是r和周期N的函数。

  考虑N = 8，r = 0,1,2,3，…. 14,15,16，…。

  $ \ Longleftrightarrowarrow W_8 ^ 0 = W_8 ^ 8 = W_8 ^ {16} = … = … = W_8 ^ {32} = … = 1 = 1 \ angle 0 $

• $ W_8 ^ 1 = W_8 ^ 9 = W_8 ^ {17} = … = … = W_8 ^ {33} = … = \ frac {1} {\ sqrt 2} = j \ frac {1} {\ sqrt 2} = 1 \ angle- \ frac {\ pi} {4} $

线性变换

让我们了解线性变换-

我们知道，

$ DFT(k)= DFT [x(n)] = X(\ frac {2 \ pi} {N} k)= \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x(n).W_n ^ { -nk}; \ quad k = 0,1，….，N-1 $

$ x(n)= IDFT [X(k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X(k).W_N ^ {-nk}; \ quad = 0,1，….，N-1 $

注意-DFT的计算可以使用N ^2个复数乘法和N(N-1)个复数加法进行。

$ \ begin {bmatrix} 1＆1＆1＆…＆…＆1 \\ 1＆W_N＆W_N ^ 2＆…＆…＆W_N ^ {N-1} \\。 ＆W_N ^ 2＆W_N ^ 4＆…＆…＆W_N ^ {2(N-1)} \\。\\ 1＆W_N ^ {N-1}＆W_N ^ {2(N-1 )}＆…＆…＆W_N ^ {(N-1)(N-1)} \ end {bmatrix} $

矩阵项中的N点DFT由-$ X_N = W_Nx_N $给出

$ W_N \ longmapsto $线性变换矩阵

$ Now，\ quad x_N = W_N ^ {-1} X_N $

矩阵形式的IDFT由

$$ x_N = \ frac {1} {N} W_N ^ * X_N $$

比较$ x_N，\ quad W_N ^ {-1} = \ frac {1} {N} W_N ^ * $和$ W_N \ times W_N ^ * = N [I] _ {N \ times N} $的两个表达式

因此，$ W_N $是线性变换矩阵，正交(()矩阵。

从$ W_N $的周期性质及其对称性质可以得出，$ W_N ^ {k + N / 2} = -W_N ^ k $

圆对称

长度为N≤L的有限持续时间x(n)的N点DFT等于x(n)的周期扩展的N点DFT，即周期N的$ x_p(n)$和$ x_p( n)= \ sum_ {l =-\ infty} ^ \ infty x(n-Nl)$。现在，如果我们将序列(它是周期序列)向右移动k个单位，则会获得另一个周期序列。这称为循环移位，由下式给出：

$$ x_p ^ \ prime(n)= x_p(nk)= \ sum_ {l =-\ infty} ^ \ infty x(nk-Nl)$$

新的有限序列可以表示为

$$ x_p ^ \ prime(n)= \ begin {cases} x_p ^ \ prime(n)，＆0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0＆else \ end {cases} $$

示例-令x(n)= {1,2,4,3}，N = 4，

$ x_p ^ \ prime(n)= x(nk，modulo \ quad N)\ equiv x((nk))_ N \ quad; ex-if \ quad k = 2i.e \ quad 2 \ quad unit \ quad right \四移位\ quad和\ quad N = 4，$

假定顺时针方向为正方向。

我们得到了$ x \ prime(n)= x((n-2))_ 4 $

$ x \ prime(0)= x((-2))_ 4 = x(2)= 4 $

$ x \ prime(1)= x((-1))_ 4 = x(3)= 3 $

$ x \ prime(2)= x((-2))_ 4 = x(0)= 1 $

$ x \ prime(3)= x((1))_ 4 = x(1)= 2 $

结论-N点序列的循环移位等效于其周期性扩展的线性移位，反之亦然。

循环偶数序列- $ x(Nn)= x(n)，\ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $

$ iex_p(n)= x_p(-n)= x_p(Nn)$

共轭偶数- $ x_p(n)= x_p ^ *(Nn)$

循环奇数序列- $ x(Nn)= -x(n)，\ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $

$ iex_p(n)= -x_p(-n)= -x_p(Nn)$

共轭奇数− $ x_p(n)= -x_p ^ *(Nn)$

现在，$ x_p(n)= x_ {pe} + x_ {po}(n)$，其中，

$ x_ {pe}(n)= \ frac {1} {2} [x_p(n)+ x_p ^ *(Nn)] $

$ x_ {po}(n)= \ frac {1} {2} [x_p(n)-x_p ^ *(Nn)] $

对于任何实信号x(n)， $ X(k)= X ^ *(Nk)$

$ X_R(k)= X_R(Nk)$

$ X_l(k)= -X_l(Nk)$

$ \角度X(k)=-\角度X(NK)$

时间反转-将^第0^个样本反转。给出为：

$ x((-n))_ N = x(Nn)，\ quad 0 \ leq n \ leq N-1 $

时间逆转是按顺时针方向(即假定为负方向)绘制序列样本。

其他一些重要属性

其他重要的IDFT属性$ x(n)\ longleftrightarrow X(k)$

• 时间反转-$ x((-n))_ N = x(Nn)\ longleftrightarrow X((-k))_ N = X(Nk)$

• 循环时移-$ x((nl))_ N \ longleftrightarrow X(k)e ^ {j2 \ pi lk / N} $

• 循环频移-$ x(n)e ^ {j2 \ pi ln / N} \ longleftrightarrow X((kl))_ N $

• 复杂的共轭性质–

  $ x ^ *(n)\ longleftrightarrow X ^ *((-k))_ N = X ^ *(Nk)\ quad和$

  $ x ^ *((-n))_ N = x ^ *(Nn)\ longleftrightarrow X ^ *(-k)$

• 两个序列的乘法–

  $ x_1(n)\ longleftrightarrow X_1(k)\ quad和\ quad x_2(n)\ longleftrightarrowarrow X_2(k)$

  $ \因此x_1(n)x_2(n)\ longleftrightarrow X_1(k)\ quad X_2(k)$

• 圆卷积-和两个DFT的乘法

  $ x_1(k)\ quad x_2(k)= \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x_1(n).x_2((mn))_ n，\ quad m = 0,1,2 ,. ..。，N-1 $

  $ x_1(k)\ quad x_2(k)\ longleftrightarrow X_1(k).X_2(k)$

• 循环相关-如果$ x(n)\ longleftrightarrow X(k)$和$ y(n)\ longleftrightarrow Y(k)$，则存在表示为$ \ bar Y_ {xy} $的互相关序列，使得$ \ bar Y_ {xy}(l)= \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x(n)y ^ *((nl))_ N = X(k).Y ^ *(k)$

• 帕斯瓦尔定理-如果$ x(n)\ longleftrightarrow X(k)$和$ y(n)\ longleftrightarrow Y(k)$;

  $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x(n)y ^ *(n)= \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ { N-1} X(k).Y ^ *(k)$