从给定的信息中找到 sin2x、cos2x 和 tan2x：

根据三角函数的定义，我们知道：

$\csc x = \frac{1}{\sin x}$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

所以， $\csc x = 6$ 可以转换成 $\frac{1}{\sin x} = 6$

解得：$\sin x = \frac{1}{6}$

因为 $\tan x < 0$，再根据三角函数的定义：

当 $\tan x < 0$ 时，$\sin x < 0$，且 $\cos x > 0$

所以 $\sin x = \frac{1}{6}$ 且 $\cos x > 0$，可以得到：

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

$(\cos x)^2 + (\frac{1}{6})^2 = 1$

$(\cos x)^2 = \frac{35}{36}$

$\cos x = \pm\sqrt{\frac{35}{36}}$

因为 $\cos x > 0$，所以 $\cos x = \frac{\sqrt{35}}{6}$

接下来，我们可以用 $\sin x$ 和 $\cos x$ 来求解：

$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$

$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$

$\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$

代入已知数值，可得：

$\sin(2x) = 2 \times \frac{1}{6} \times \frac{\sqrt{35}}{6} = \frac{\sqrt{35}}{18}$

$\cos(2x) = (\frac{\sqrt{35}}{6})^2 - (\frac{1}{6})^2 = \frac{34}{36} = \frac{17}{18}$

$\tan(2x) = \frac{2 \times \frac{\sin x}{\cos x}}{1 - (\frac{\sin x}{\cos x})^2} = \frac{-\frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{6})^2} = -\frac{6}{11}$

因此，$\sin(2x) = \frac{\sqrt{35}}{18}$，$\cos(2x) = \frac{17}{18}$，$\tan(2x) = -\frac{6}{11}$。

以下是 Python 代码片段，可供参考：

import math

cosec_x = 6
sin_x = 1 / cosec_x
cos_x = math.sqrt(35) / 6

sin_2x = 2 * sin_x * cos_x
cos_2x = cos_x**2 - sin_x**2
tan_2x = (2 * sin_x / cos_x) / (1 - (sin_x / cos_x)**2)

print("sin(2x) = ", sin_2x)
print("cos(2x) = ", cos_2x)
print("tan(2x) = ", tan_2x)