📅 最后修改于: 2023-12-03 15:12:38.897000 🧑 作者: Mango
本次介绍的是 GATE IT 2006 中的第23个问题。这道问题的题目为“门”，是一道基础的组合数学及图论题目。
已知一扇门有 $n$ 个开关，每个开关只有两个状态：打开或关闭。有一组操作序列，每次操作可以将某些开关的状态取反（即打开的变为关闭，关闭的变为打开）。现在需要通过若干个操作使得所有的开关都打开。一个操作只能选择一个门开关进行取反。请求出最少需要几次操作才可以实现。
第一行是一个整数 $n$，表示门开关的数量 $(1\leq n\leq 20)$
以下 $n$ 行每行 $n$ 个数，用来表示操作之间的联系。如第 $i$ 行第 $j$ 个数为 $1$，表示操作 $i$ 对操作 $j$ 有影响，即执行操作 $i$ 后，操作 $j$ 的影响也需要被考虑。
输出一个整数，表示最少操作次数。
以下是一份基于 C++ 的代码示例，用于读入并处理该问题的输入数据、计算最少操作次数和输出结果。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 21;
int g[N][N], n;
int d[1 << N];
int main() {
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
cin >> g[i][j];
memset(d, 0x3f, sizeof d);
d[0] = 0;
for (int i = 0; i < 1 << n; i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
if ((i >> j) & 1) // j 在状态 i 中
for (int k = 0; k < n; k++)
if (g[j][k])
d[i] = min(d[i], d[i ^ (1 << j) ^ (1 << k)] + 1);
cout << d[(1 << n) - 1] << endl;
return 0;
}
这份代码的主要思路是基于状压和动态规划的策略。具体实现时，我们通过二进制位表示是否进行操作，因此共准备了 $2^n$ 个状态。同时，我们还需要一张二维数组，表示操作之间的联系。接下来，通过动态规划的思想，我们从所有的状态 0 开始，逐步求出最少操作次数，并最终得到所有开关都打开的结果。
需要注意的是，这份代码中的状态转移方程比较特殊。我们对于每一个状态，都遍历其中每一个开关，判断其是否需要进行操作，并尝试通过之前的状态转移结果来更新当前结果。这样一来，我们就可以通过正确的状态转移方式，最终得到正确的最少操作次数。