资质 | GATE CS 1998 | 问题26

本文介绍GATE CS 1998年的问题26，该问题涉及计算机科学中的图论和动态规划，是对程序员算法能力的良好考验。

问题描述

给定一个带有N个节点和M条有向边的图，每个边都有一个加权值w。将起点为1的所有节点标记为黑色，其他所有节点标记为白色。初始时，只有1号节点是黑色的。现在重复执行以下步骤：

• 从一个黑色节点到一个白色节点选择一条最小加权值的边e=(u,v)。
• 将v标记为黑色。

当每个节点都被标记为黑色时，算法结束。最终的结果是所有被标记的边的边权和，该算法被称为最小斯坦纳树。

输入值如下：

• N,M，w[i][j]（1 ≤ i,j ≤ N，1 ≤ M ≤ N^2， 0 ≤ w[i][j] ≤ 1000）。w[i][j]为节点i到节点j的边的权值，如果i到j没有边，则赋值为0。

输出最小斯坦纳树中所有边的边权和。

题目分析

此问题可以使用动态规划算法进行解决。可以将黑色节点集合表示为b，其中起点1为节点黑色，其他所有节点为白色。使用二进制数表示b中的黑色节点，例如b=1101代表节点1,3,4是黑色节点，而节点2是白色节点。

假设记OPT（b，i）为在黑色节点集合b中，只有i是所选目标节点的最小路径权值。因此，当b的二进制数中至少有两个黑色节点时，可以采用以下递归表达式计算OPT（b，i）：

OPT（B，j）={ 0 if B= {j} min {OPT(B’，k)+w[k][j] | k∈b’, B’=B-{j}} }

因此，问题的最小斯坦纳树的总路径权重可以通过以下表达式计算：

min{OPT(B,1)+w[1][j] | B⊆V，1≤|B| < N，j∈B}

由于递归调用的开销很大，因此应该使用记忆化技术。

代码实现

下面是python代码实现，假设w为N*N二维列表：

def min_steiner_tree(N, w):
    # 初始化OPT数组为MAX值
    OPT = [[float('inf')] * N for _ in range(1 << N)]
    # 初始化黑色节点集合
    black_nodes = [i for i in range(N)]

    # 初始化终点为1的边
    for i in range(N):
        OPT[1 << i][i] = w[i][0]

    # 递归算法
    for S in range(1 << N):
        for j in range(N):
            for K in range(S):
                if (K & S) == K:
                    OPT[S][j] = min(OPT[S][j], OPT[K][j] + OPT[S-K][j])

            # 计算最小值
            for i in range(N):
                OPT[S][i] = min(OPT[S][i], OPT[S][j] + w[j][i])

    # 计算最小斯坦纳树的总路径权重
    min_weight = float('inf')
    for S in range(1, 1 << N):
        if black_nodes <= [i for i in range(N) if S & (1 << i)]:
            for j in range(N):
                min_weight = min(min_weight, OPT[S][j] + w[j][0])
    return min_weight

测试样例

下面是一些测试样例：

| 输入值 | 输出值 | | --- | --- | | 3, Edges: {(1, 2, 5), (2, 3, 3), (3, 1, 2)} | 7 | | 4, Edges: {(1, 2, 1), (1, 3, 5), (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 4, 2)} | 8 | | 5, Edges: {(1, 2, 2), (1, 3, 3), (2, 3, 1), (2, 4, 5), (3, 4, 4), (3, 5, 1), (4, 5, 1)} | 6 |

总结

此问题涉及到计算机科学中图论和动态规划的知识点，需要程序员用动态规划算法解决该问题。通过递归计算OPT数组，可以最终计算出问题的最小斯坦纳树的总路径权重，该算法可用于任何有向图并且效率高。