费马小定理

费马小定理（Fermat's Little Theorem）是一条非常重要的定理，用于快速计算模意义下的幂和逆元，广泛应用于密码学、组合数学、数论等领域。

定理表述

如果 $p$ 是一个质数，$a$ 是一个整数，且 $a$ 不被 $p$ 整除，则有：

$$ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} $$

换句话说，$a$ 的 $p-1$ 次方与 $1$ 对 $p$ 取模的余数相等。

证明

有许多种证明费马小定理的方法，其中最为经典的证明方法是利用欧拉定理，此处给出验证定理的证明：

假设 $a$ 不被 $p$ 整除，考虑集合 $S = {a, 2a, \cdots, (p-1)a}$。显然，这个集合的大小为 $p-1$，其中每个元素对 $p$ 取模后都不同：

$$ \begin{aligned} & a_1 \equiv a_2 \pmod p ~~~~ \longrightarrow ~~~~ a_1 \equiv a_2 \pmod{p} \ & a_1 \equiv a_i \pmod p ~~~~ \longrightarrow ~~~~ i = 2, 3, \cdots, p-1 \ & a_1 + k p \equiv a_2 + l p \pmod p ~~~~ \longrightarrow ~~~~ k = l \ \end{aligned} $$

其中 $a_1 = a$。

由于 $p$ 是一个质数且不被 $a$ 整除，那么 $a, 2a, \cdots, (p-1)a$ 的所有元素都是 $p$ 关于 $a$ 的非等剩余系。因此，它们的积与 $1$ 对 $p$ 取模的余数相等：

$$ a \times 2a \times \cdots \times (p-1) a \equiv 1 \pmod{p} $$

因为 $a^{p-1}$ 在取模 $p$ 意义下也等于 $1$，两边同时乘以 $a^{-1}$，得到：

$$ a^{p-2} \equiv a^{-1} \pmod{p} $$

因此，我们可以对于任意一个数 $a$ 和一个质数 $p$，通过 $a^{p-2}$ 求得 $a$ 在取模 $p$ 意义下的逆元。

应用

计算幂

由于费马小定理的结论，计算 $a^b \pmod{p}$ 的值时，可以将指数 $b$ 对 $p-1$ 取模，从而减少计算量：

$$ a^b \equiv a^{b \bmod{(p-1)}} \pmod{p} $$

求逆元

对于任意一个数 $a$ 和一个质数 $p$，通过 $a^{p-2}$ 求得 $a$ 在取模 $p$ 意义下的逆元：

$$ a^{-1} \equiv a^{p-2} \pmod{p} $$

判断质数

如果对于任意一个整数 $a$，均有 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$，则 $p$ 可能是一个质数。但如果存在某个 $a$ 不能满足该条件，那么 $p$ 一定不是一个质数。

总结

费马小定理是一个重要的定理，可应用到很多领域中。熟练使用费马小定理，可以帮助我们更好的理解模运算和逆元运算，加速我们的算法实现。