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📜  二项式定理

📅  最后修改于: 2021-06-22 21:33:18             🧑  作者: Mango

二项式表达式是仅包含两个项的代数表达式，例如4x 2 +9。当需要将这些项扩展为任何大的幂或索引(例如n)时，则需要一种方法来解决。

因此，引入了一个称为二项式定理的定理，这是扩展或乘以二项式表达式的有效方法。二项式定理定义为公式，通过该公式可以将二项式表达式的任何幂扩展为级数形式。

二项式定理

二项式定理用于以简单方式求解二项式表达式。它给出一个表达式来计算任何正整数n的(a + b)n的展开。二项式定理表示为：

现在，可以理解，什么是二项式表达式以及二项式定理的目的，因此请尝试使用上述方法将(a + b) n扩展为较大的n值(例如n = 10、11、12…)。声明为：

等等。

在小数次幂展开的情况下，很难使用相同的语句来计算二项式展开的系数。二项式定理的这一缺点已由Pascal的Triangle解决。

帕斯卡三角形是一种计算二项式展开式系数的替代方法，它使用图表而不是代数方法。

在下面显示的图中，注意到三角形中的每个数字都是正上方的两个数字之和。此模式将无限期继续以获得二项式表达式的任何索引的系数。

当我们观察扩展系数(a + b) n的模式时，扩展系数(a + b) 7的模式的Pascal三角形如下图所示：

因此，从上图可以看出，n的小次幂的展开(例如，n = 0、1、2、3、4、5、6、7)为：

这样，通过应用帕斯卡三角形可从(a + b) 0扩展到(a + b) 7。但是，使用帕斯卡三角形计算(a + b) 15确实是一个漫长的过程。因此，这里就是二项式定理出现的地方。

当紧密地观察系数时，定理如下：

因此，根据上述模式，(a + b) n的展开式如下：

上面的陈述称为二项式定理。

二项式定理公式

由二项式定理获得的公式称为二项式定理公式，该公式可以直接应用于二项式方程式(让它包含x和y的项)，并升为任意幂n，公式为：

上述公式的一些示例如下：

二项式定理的性质

二项式展开式或二项式定理是算术平均值的重要部分。它既不容易也不难，因为它可以直接应用于问题中。二项式展开式(a + b) n的一些重要性质表示为：

  1. 在具有索引n的二项式表达式的展开中有(n + 1)个项，即比二项式表达式的幂(索引)大一个。例如，在(a + b) n的扩展中出现的项数等于(n + 1)。
  2. (a + b) n的展开式的第一项等于a n，而最后一项等于b n 。
  3. 这样，a和b的索引之和仅等于n。
  4. 仅当a = b或a + b = n时，则n C a = n C b 。
  5. 距起点和终点等距的每个项的系数相等。这种系数称为二项式系数， n C r = n C r-1 ，其中r为0,1,2，…，n。

二项式定理的样本问题

让我们尝试关于二项式定理的一些样本问题。

问题1：展开二项式(2x + 3y) 2 。

解决方案：

问题2：展开以下内容(1 – x + x 2 ) 4

解决方案：

问题3：从((x 3/2 )–(2 / x 2 )) 8的展开中找出第4个项。

解决方案：

问题4：在((p / x)+(x / p)) 9的展开式中找到中间项

解决方案：