矩阵是一组以固定数量的行和列排列的数字和非数字数据。矩阵乘法是并行计算中的重要乘法设计。在这里，我们将讨论在诸如mesh和hypercube之类的各种通信网络上矩阵乘法的实现。 Mesh和hypercube具有更高的网络连接性，因此与环网等其他网络相比，它们允许更快的算法。

网状网络

一组节点形成p维网格的拓扑称为网状拓扑。在这里，所有边缘都平行于网格轴，并且所有相邻节点之间都可以通信。

节点总数=(行中的节点数)×(列中的节点数)

可以使用以下因素评估网状网络-

• 直径
• 分割宽度

直径-在网状网络中，两个节点之间的最长距离是其直径。具有kP个节点的p维网格网络的直径为p(k-1) 。

二等分宽度-二等分宽度是从网络中删除以将网格网络分为两半所需的最小边数。

使用网状网络的矩阵乘法

我们考虑了具有环绕连接的2D网状网络SIMD模型。我们将设计一种算法，在特定的时间内使用n ^2个处理器将两个n×n数组相乘。

矩阵A和B分别具有元素_ij和b _ij 。处理元素PE _ij代表a _ij和b _ij 。矩阵A和B的排列方式应使每个处理器都有一对要相乘的元素。矩阵A的元素将向左移动，矩阵B的元素将向向上移动。矩阵A和B中元素位置的这些变化为每个处理元素PE提供了一对新的要相乘的值。

算法步骤

• 错开两个矩阵。
• 计算所有乘积a _ik ×b _kj
• 步骤2完成后计算总和。

算法

Procedure MatrixMulti

Begin
   for k = 1 to n-1
    
   for all Pij; where i and j ranges from 1 to n
      ifi is greater than k then
         rotate a in left direction
      end if
        
   if j is greater than k then
      rotate b in the upward direction
   end if
    
   for all Pij ; where i and j lies between 1 and n
      compute the product of a and b and store it in c
   for k= 1 to n-1 step 1
   for all Pi;j where i and j ranges from 1 to n
      rotate a in left direction
      rotate b in the upward direction
      c=c+aXb
End

超立方体网络

超立方体是一种n维构造，其中边缘彼此垂直且长度相同。 n维超立方体也称为n立方体或n维立方体。

具有2 ^k节点的Hypercube的功能

• 直径= k
• 对等宽度= 2 ^k–1
• 边数= k

使用Hypercube网络进行矩阵乘法

Hypercube网络的一般规范-

• 令N = 2 ^m为处理器总数。令处理器为P _0， P ₁ …..P _N-1 。

• 令i和i ^b为两个整数，0 b

• 让我们考虑两个n×n矩阵，矩阵A和矩阵B。

• 步骤1-将矩阵A和矩阵B的元素分配给n ^3个处理器，以使位置i，j，k的处理器具有_ji和_bik 。

• 步骤2-位置(i，j，k)中的所有处理器都将计算乘积

  C(i，j，k)= A(i，j，k)×B(i，j，k)

• 步骤3-对于0≤i≤n-1，总和C(0，j，k)=ΣC(i，j，k)，其中0≤j，k

块矩阵

块矩阵或分区矩阵是一个矩阵，其中每个元素本身代表一个单独的矩阵。这些单独的部分称为块或子矩阵。

例

在图(a)中，X是块矩阵，其中A，B，C，D是矩阵本身。图(f)显示了总矩阵。

块矩阵乘法

当两个块矩阵是平方矩阵时，它们将按照我们执行简单矩阵乘法的方式相乘。例如，