在上一章中，我们讨论了直流电路的瞬态响应和稳态响应。在本章中，让我们讨论交流电路的响应。我们在上一章中讨论过的瞬态响应和稳态响应的概念在这里也将很有用。

查找串联RL电路的响应

考虑以下串联RL电路图。

在上述电路中，开关保持打开状态直到t = 0，并且在t = 0时闭合。因此，到目前为止，峰值电压为V _m伏的AC电压源尚未连接到串联RL电路。因此，没有初始电流流过电感器。

下图显示了当开关处于闭合位置时的电路图。

现在，电流i(t)在整个电路中流动，因为峰值电压为V _m伏的交流电压源连接到串联RL电路。

我们知道流过上述电路的电流i(t)将具有两项，一项代表瞬态部分，另一项代表稳态。

从数学上讲，它可以表示为

$ i(t)= i_ {Tr}(t)+ i_ {ss}(t)$等式1

哪里，

• $ i_ {Tr}(t)$是流过电路的电流的瞬态响应。

• $ i_ {ss}(t)$是流过电路的电流的稳态响应。

在上一章中，我们获得了流经串联RL电路的电流的瞬态响应。它采用$ Ke ^ {-\ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} $的形式。

用公式1代替$ i_ {Tr}(t)= Ke ^ {-\ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} $

$ i(t)= Ke ^ {-\ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} + i_ {ss}(t)$等式2

稳态电流的计算

如果将正弦信号用作线性电路的输入，则它会产生稳态输出，这也是正弦信号。输入和输出正弦信号都将具有相同的频率，但幅度和相位角不同。

我们可以使用拉普拉斯变换方法，计算由正弦电压源激励的电路的稳态响应。

下图显示了当开关处于闭合位置时的s域电路图。

在上述电路中，所有数量和参数均以s域表示。这些是时域数量和参数的Laplace变换。

上述电路的传递函数为

$$ H(s)= \ frac {I(s)} {V(s)} $$

$$ \ Rightarrow H(s)= \ frac {1} {Z(s)} $$

$$ \ Rightarrow H(s)= \ frac {1} {R + sL} $$

用上面的等式代入$ s = j \ omega $。

$$ H(j \ omega)= \ frac {1} {R + j \ omega L} $$

$ \ mathbf {\ mathit {H(j \欧米加)}} $是大小

$$ | H(j \ omega)| = \ frac {1} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2} L ^ 2} $$

$ \ mathbf {\ mathit {H(j \ omega)}} $的相角为

$$ \ angle H(j \ omega)= -tan ^ {-1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup $$

通过执行以下两个步骤，我们将获得稳态电流$ i_ {ss}(t)$-

• 将输入正弦电压的峰值电压与$ H(j \ omega)$的大小相乘。

• 将输入正弦电压和$ H(j \ omega)$的相角相加。

稳态电流$ i_ {ss}(t)$将为

$$ i_ {ss}(t)= \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi-tan ^ {-1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$

用公式2替换$ i_ {ss}(t)$的值。

$ i(t)= Ke ^ {-\ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}}罪\ lgroup \ omega t + \ varphi-tan ^ {-1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $等式3

我们知道电路中没有初始电流。因此，用等式3替代t = 0 ＆ i(t)= 0 ，以便找到常数K的值。

$$ 0 = Ke ^ {-\ lgroup \ frac {0} {\ tau} \ rgroup} + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ Ω(0)+ \ varphi-棕褐色{-1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$

$$ \ Rightarrow 0 = K + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ varphi-tan ^ {-1} \ lgroup \ frac {\欧米茄L} {R} \ rgroup \ rgroup $$

$$ \ Rightarrow K =-\ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ varphi-tan ^ {-1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$

将K的值代入公式3中。

$ i(t)=-\ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ varphi-tan ^ {-1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup e ^ {-\ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2 }} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi-tan ^ {-1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $等式4

公式4表示流过串联RL电路的电流，当它被正弦电压源激励时。它有两个学期。第一项和第二项分别代表电流的瞬态响应和稳态响应。

我们可以忽略方程式4的第一项，因为它的值将大大小于一个。因此，流经电路的合成电流为

$$ i(t)= \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi-tan ^ {-1} \ lgroup \压裂{\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$

它仅包含稳态项。因此，我们只能找到交流电路的稳态响应，而忽略其瞬态响应。