求点 (– 1, 6) 与连接点 (– 3, 10) 和 (6, – 8) 的线段的比值

几何学无疑是数学领域最重要的分支之一。它的意义与算术和代数一样深刻，在我们的日常生活中以及在数学的技术性和复杂性中一样重要。几何，在日常生活中，基本上无处不在。它被应用于设计一个简单的茶水盒到手机或笔记本电脑到水箱，甚至是公共汽车、卡车，甚至是水坝。因此，任何占据空间并具有确定形状的东西都必须包含在几何学的范围内。在数学理论和问题中，几何的概念也被用来找出两个形状之间的距离、它们占据的空间、它们的大小和位置。

坐标平面

这种由两条线相交形成的平面，一条垂直，一条水平，在数学上称为坐标平面。它是一个二维平面，以垂直线为 y 轴，水平线为 x 轴。平面中两条线的交点称为原点，用 O 表示。匹配网格上的图形用于检测点。坐标平面可用于绘制点、线等。它充当图表，并产生从一个点到另一个点的精确方向。

坐标

坐标是一组两个值，它们在坐标平面网格（更好地称为坐标平面）上定位选定点。坐标平面内的点通过其有序对 (x, y) 已知，写在括号中，就像 X 坐标和 Y 坐标一样。这些坐标通常为正、零或负，具体取决于它们在各自象限内的位置。

不同象限中的坐标符号

坐标平面分为 x 轴和 y 轴的 4 个象限。第一个象限是最右上的一个，其中 x 和 y 坐标都是正数；第二个象限位于第一个象限的左侧，其中 x 坐标为正，y 坐标为负；第三象限位于第二象限正下方，x 坐标为负，y 坐标为正；第四象限位于第一象限的正下方和第三象限的右侧，其中 x 和 y 坐标均为负值。

截面公式

在笛卡尔系统中，给定的线段将通过无限数量的点。很明显，所有这些点都将给定的线段分成长度可能相等或不相等的两部分。现在如果知道这样一个点的坐标，就有可能找出线段分割发生的比率。这种情况的反面也是可能的，给定线段被划分的比率，可以计算出负责这种划分的点的坐标。这就是截面公式的概念出现的时候。

截面公式用于确定将连接两点的线段分成两部分的点的坐标，使得它们的长度比为 m:n。

假设 A(a ₁ , b ₁ ) 和 B(a ₂ , b ₂ ) 是 xy 平面上的两个点，T 是在内部以 m:n 比率划分线段 AB 的点，则截面公式为确定点 T 的坐标由下式给出：

T(a, b) = $(\frac{ma_2+na_1}{m+n},\frac{mb_2+nb_1}{m+n})$

求点 (– 1, 6) 与连接点 (– 3, 10) 和 (6, – 8) 的线段的比值。

解决方案：

Let the ratio in which the point T(-1, 6) divides the line segment joining A(– 3, 10) and B(6, – 8) be m:n.

As per section formula, coordinates of point T are given by:

(-1, 6) = $(\frac{m(6)+n(-3)}{m+n},\frac{m(-8)+n(10)}{m+n})$

⇒ -1 = $\frac{m(6)+n(-3)}{m+n}$ and 6 = $\frac{m(-8)+n(10)}{m+n}$

⇒ −m − n = 6m − 3n and 6m + 6n = −8m + 10n

⇒ 2n = 7m and 4n = 14m

⇒ 7m = 2n

⇒ m:n = 2:7

Hence the point (– 1, 6) divides the line segment joining the points (– 3, 10) and (6, – 8) internally in the ratio 2:7.

类似问题

问题 1. 求点 (–7/5,0) 分割连接点 (4, 6) 和 (-5, – 4) 的线段的比率。

解决方案：

Let the ratio in which the point T(– 7/5,0) divides the line segment joining A(4, 6) and B(−5, – 4) be m:n.

As per section formula, coordinates of point T are given by:

(– 7/5,0) = $(\frac{m(-5)+n(4)}{m+n},\frac{m(-4)+n(6)}{m+n})$

⇒ -7/5 = $\frac{m(-5)+n(4)}{m+n}$ and 0 = $\frac{m(-4)+n(6)}{m+n}$

⇒ −7m − 7n = -25m + 20n and 0 = −4m + 6n

⇒ 27n = 18m and 6n = 4m

⇒ 2m = 3n

⇒ m:n = 3:2

Hence the point (– 7/5,0) divides the line segment joining the points (4, 6) and (−5, – 4) internally in the ratio 3:2.

问题 2. 求点 (0, 3) 与连接点 (2, 1) 和 (-3, 6) 的线段的比值。

解决方案：

Let the ratio in which the point T(0, 3) divides the line segment joining A(2, 1) and B(-3, 6) be m:n.

As per section formula, coordinates of point T are given by:

(0, 3) = $(\frac{m(-3)+n(2)}{m+n},\frac{m(6)+n(1)}{m+n})$

⇒ 0 = $\frac{m(-3)+n(2)}{m+n}$ and 3 = $\frac{m(6)+n(1)}{m+n}$

⇒ 0 = -3m + 2n and 3m + 3n = 6m + n

⇒ 2n = 3m and 6n = 4m

⇒ 3m = 2n

⇒ m:n = 2:3

Hence the point (0, 3) divides the line segment joining the points (2, 1) and (−3, 6) internally in the ratio 2:3.

问题 3. 求点 (3, 6) 与连接点 (4, 8) 和 (2, 4) 的线段的比值。

解决方案：

Let the ratio in which the point T(3, 6) divides the line segment joining A(4, 8) and B(2, 4) be m:n.

As per section formula, coordinates of point T are given by:

(3, 6) = $(\frac{m(2)+n(4)}{m+n},\frac{m(4)+n(8)}{m+n})$

⇒ 3 = $\frac{m(2)+n(4)}{m+n}$ and 6 = $\frac{m(4)+n(8)}{m+n}$

⇒ 3m + 3n = 2m + 4n and 6m + 6n = 4m + 8n

⇒ n = m and 2n = 2m

⇒ m = n

⇒ m:n = 1:1

Hence the point (3, 6) divides the line segment joining the points (4, 8) and (2, 4) internally in the ratio 1:1.