找出一个 M<N 的数字，以使它们的 XOR 和 AND 之间的差异最大

在本题中，我们需要找到两个给定数字 M 和 N，并计算它们的 XOR 和 AND 操作的差异，使这个差异值最大。下面我们将一步步解决这个问题。

问题分析

设 X = M XOR N，Y = M AND N，则问题可以转化为：找到一个 M<N，使得 X-Y 最大。

解决这个问题的基本思路是遍历 M 和 N 所有可能的值并计算出它们的 X-Y 值，然后找到最大的 X-Y 值对应的 M 值即可。

问题解决

解法一：暴力枚举

最朴素的解法是暴力枚举，对于每个 M（$M<N$），计算出对应的 X 和 Y，然后计算 X-Y 的值，最后找到最大值对应的 M 值即可。

def find_max_xor_and(M: int, N: int) -> int:
    max_diff = -1
    max_M = -1
    for i in range(M, N):
        for j in range(i+1, N+1):
            x = i ^ j
            y = i & j
            diff = x - y
            if diff > max_diff:
                max_diff = diff
                max_M = i
    return max_M

不难看出，该算法的时间复杂度为 $O((N-M)^2)$，当 N 和 M 的差距很大时，该算法会非常耗时。

解法二：位运算

我们可以使用位运算来优化算法的效率。观察到如果 X 中有一些高位是 1，那么这些位在和 Y 相减时会得到更大的值，我们应该尽可能让这些高位上的 1 保留下来。因此，我们可以寻找一个使得 M 的二进制表示和 N 的二进制表示不同的最高位上的 1，然后将这个最高位上的 1 保留下来，对其它位进行异或操作即可得到结果。

def find_max_xor_and(M: int, N: int) -> int:
    # 找到 M 和 N 的二进制表示不同的最高位上的 1
    diff = N - M
    mask = 1
    while diff > 0:
        diff >>= 1
        mask = (mask << 1) | 1
    mask <<= (diff.bit_length() - 1)
    # 对 M 的除最高位外的其它位和 mask 进行异或操作，并保留最高位
    return M | mask & ~(mask ^ (M ^ (M & mask)))

这个算法的时间复杂度为 $O(\log_2(N-M))$，比暴力枚举算法快很多。

总结

我们通过两种算法的实现，解决了找出一个 M<N 的数字，以使它们的 XOR 和 AND 之间的差异最大的问题。其中，第一种算法是朴素的暴力枚举，时间复杂度为 $O((N-M)^2)$，第二种算法使用位运算实现，时间复杂度为 $O(\log_2(N-M))$，速度更快。